Stetigkeit

21.06.2008, 17:22

Angel87

Stetigkeit

Hey,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe bzw. weiss überhaupt nicht, was ich machen soll.

Zeigen Sie, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x1,x2):= { \frac{(x1)^2+(x2)^2}{\sqrt{(x1)^2+(x2)^2+1-1}<br /> } } \end{eqnarray*}$ für (x1,x2) ungleich (0,0)
2 für (x1,x2) = (0,0)

an der Stelle (0,0) stetig ist.

LG

21.06.2008, 17:47

tmo

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Ich vermute stark, dass es
$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2) := \frac{x_1^2+x_2^2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+1}-1} \end{eqnarray*}$

lautet.

Erweitere mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1^2+x_2^2+1}+1 \end{eqnarray*}$

21.06.2008, 17:51

Hydralisk

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Ich bin mir nicht sicher aber ich denke du musst das x von Links und von Rechts gegen 0 laufen alssen und zeigen das der Grenzwert den selben Wert wie der Funktionswert hatt.

f(x0) = lim(x->xo) f(x0)
1. x<0
2 x>0

aber wie gesagt keine Garantie smile

21.06.2008, 17:54

Angel87

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Danke für die zügigen Antworten! Habe jetzt leider keine Zeit mehr, um mich weiter damit zu beschäftigen. Werde mich morgen damit befassen.
Danke!!!

21.06.2008, 17:55

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Ich vermute stark, dass es
$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2) := \frac{x_1^2+x_2^2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+1}-1} \end{eqnarray*}$

lautet.

Du könntest wenigstens noch sagen, ob ich damit richtig liege verwirrt

@Hydralisk: Wie definierst du denn $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ? Dies ist keine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ !

21.06.2008, 18:04

Hydralisk

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x>0 = alle positiven Werte für x
x<0 = alle negativen Werte für x

21.06.2008, 18:16

tmo

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Wir befinden uns aber doch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Es ist wenn dann zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \lim_{(x_1,x_2) \to (0,0)} f(x_1,x_2) = 2 \end{eqnarray*}$ .

Oder mit dem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium und der euklidischen Norm im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ :

Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} ||(x_1,x_2)|| < \delta \Longrightarrow |f(x_1,x_2)-2| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

22.06.2008, 15:07

Angel87

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Ja tmo du liegst mit deiner schreibweise richtig!

23.06.2008, 20:57

Hydralisk

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na dann hab ich bei der Aufgabenstellung irgendwo überlesen das wir uns im \mathbb R ² befinden.

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