Wieder Ideale und Homomorphismen

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder Ideale und Homomorphismen
Guten Tag,

folgende Aufgabe gilt es zu lösen und ich komme einfach nicht weiter:

Gegeben ist ein surjektiver Ringhomomorphismus
mit Kern(f)=K. zu zeigen sind folgende Aussagen:
1) Ist P ein Primideal (bzw. ein Maximalideal) in R, das K enthält, dann ist f(P) ein Primideal (bzw. Maximalideal) in S.
2) Ist Q ein Primideal (bzw. ein Maximalideal) in S, dann ist ein Primideal (bzw. Maximalideal) in R, das K enthält.
3)Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Primideale von R die K enthalten und der Primideale von S.
4) Ist I ein Ideal in R, dann ist jedes Primideal in R/I der Form P/I, wobei P ein Primideal in R ist.

Die Aussagen sind mir irgendwo schon einleuchtend, aber was soll man denn hier genau machen?

Vielen Dank und schönes Wochenende

Fletcher
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1) Nimm dir zwei beliebige Elemente , für die soll gelten:
und zeige, dass oder ist.

zu 2) Ähnlich. Verwende die Definition von

zu 3) Zeige die Injektivität und die Surjektivität. Beachte dabei, dass du Mengen abbildest. Für die Injektivität fange so an:
Seien Primideale von mit .
Es reicht zu zeigen, dass ...

Gruß
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1) reicht es nicht zu zeigen, dass entweder oder ist? Aber selbst, wenn wüsste ich nicht wie ich da vorgehen soll. Durch den Homomorphismus könnte ich mir höchstens ansehen, was x*y in R treibt.
Also und sagen das ist.

Kannst du mir weiterhelfen?

MfG
Fletcher
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich hast du recht. Es muss entweder oder sein.

Das was du gemacht hast ist doch schonmal ein guter Ansatz.

Nun weisst du doch schon, das ein Primideal ist und das gewisse Voraussetzungen gelten, wenn ist. Überleg mal scharf nach.

Gruß
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Naja wenn aber ich sehe nicht wirklich wie sich das auf die Bilder überträgt?

Ich meine schwer ist das bestimmt nicht, aber wozu macht man denn so etwas? Offensichtlich denke ich viel zu kompliziert unglücklich

Schönen Gruß
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn, wenn du nun x und y unter der Voraussetzung oder abbildest.
Klar ist doch, dass dann oder ist.
Und das war zu zeigen.

Das überhaupt ein Ideal ist, solltest du aber noch zeigen.
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir für die Info, habe jetzt auch gleich die 2) so gelöst, das geht ja fast analog.

Das es überhaupt ein Ideal ist, haben wir schon in einer anderen Aufgabe gezeigt und das habe ich hier dann auch verwendet Augenzwinkern

Fällt dir zufällig noch bei der 3) oder 4) etwas sinnvolles ein? Habe heute schon gegrübelt aber finde keinen Ansatz mehr.

Gruß
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