flächeninnhalt

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21.06.2008, 21:15	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
flächeninnhalt Berechnen Sie das Volumen des körpers, der von oben durch den parabolischen Zylinder z = 4-y² und von unten durch das elliptische Paraboloid z = x² + 3y² begrenzt wird. also klingt stark nach nem doopelnintegral..habs mir auch schon aufgezeichnet.. da es eine zeichnung im R2 ist ,ich versteh nicht ganz wie ich bei dem beiden integralen die grnezen setzen muss danke für hillfe mein freunde
22.06.2008, 17:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier geht es nicht um einen Flächeninhalt, sondern um einen Rauminhalt. Man kann ähnlich wie hier vorgehen.
22.06.2008, 19:11	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
hey lepold..danke ist sher gut erklärt..also ob ich das richtig vesteh..der flächeninnhalt sieht fast so wie die hälfte eines eies mit der xyfläche eben eines parabloischen zylinder ok was ich mir dazu gedacht hab ist ich mach ein doppelintegral in den für ( 4-y²)-(x²+3y) nur die grenzen sind mir nicht klar für die in xy leigende "verkrüppelte kreisscheibe" 4-y² ..wo mein plan ist den flächeninnhalt auszurechnen, welchen ich dann in z richtung also nach x²+3y integier..hoff du kennst dich in meinem chaos aus..nur versteh ich nicht ganz wie ich beginnen soll..nach z aufgelöst sind sie ja schaon dank der angabe
22.06.2008, 19:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = g(x) \end{eqnarray}$ bestimmen sollst, brauchst du auch die Intervallgrenzen. Die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Werte findest du durch Gleichsetzen: $\begin{eqnarray} f(x) = g(x) \end{eqnarray}$ . Hier hast du den analogen Fall: $\begin{eqnarray} z = f(x,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z = g(x,y) \end{eqnarray}$ . Nur bekommst du hier durch Gleichsetzen keine zwei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Werte, die dir die Intervallgrenzen bestimmen, sondern die Gleichung einer Kurve, die dir den Rand des Integrationsbereichs angibt. P.S. Heißt es nun $\begin{eqnarray} x^2 + 3y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^2 + 3y^2 \end{eqnarray}$ ?
22.06.2008, 19:23	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
x²+3y² sorry wenn ich mich wo verschrieben habe.. also versteh ich das richtig..da 4-y² jah nicht in einer xy ebene liegt muss ich das irgendwie subtrahieren..nur was von wem?
22.06.2008, 19:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \text{oben minus unten} \end{eqnarray}$ Aber erst solltest du den Integrationsbereich bestimmen.
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22.06.2008, 19:25	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist der inetragtionsbreceich wurzel aus -4+y²+3y..für das außere inetral?
22.06.2008, 19:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze doch bitte die $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Terme für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ gleich. Und entscheide dich, ob es nun $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ heißen soll.
22.06.2008, 19:36	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh tut mir voll leid bin komplett unter stres..ok durchatmen.. alsooo ich habe um die integrationsgrenzen..is mir so unagnehm dass ich grad so dumm bin puhh okk also was ich gemacht jetzt hab 4-y²-z=x²+3y²-z..gleicgsetzte..kam raus x² + 4y²-4 hoff ich blamier mich jetzt nicht
22.06.2008, 19:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo ist das Gleichheitszeichen geblieben? Heraus kommt: $\begin{eqnarray} x^2 + 4y^2 - 4 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 + 4y^2 = 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{1} \right)^2 = 1 \end{eqnarray}$ Die beiden Flächen schneiden sich also über der Ellipse mit den Halbachsen $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Richtung und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Richtung. Und das Innere dieser Ellipse samt Rand ist dein Integratiosbereich: $\begin{eqnarray} \int \limits_{x^2 + 4y^2 \leq 4} \ldots ~ \dd (x,y) \end{eqnarray}$ Jetzt mußt du noch überlegen, welche Fläche weiter oben liegt. Setze doch einfach einen Punkt aus dem Inneren der Ellipse (am besten den einfachsten) in die beiden Funktionsgleichungen ein.
22.06.2008, 20:19	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
ok..langsam könntest du shcon geld verlangen für das was ich dich da nerve ok.. also wen ich zum bsp (0/0) einsetzte ..kommt bei 4-y²....4 raus..und bei dem anderen natürlich null..also habe ich dann (4-y²) - (x²+3y²) d(x,y)..in unserer herausgerechneten integrationsgrenze....wenn ich das richtig interpreitere aus deinem früheren post
22.06.2008, 21:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Und jetzt empfiehlt sich eine leicht abgewandelte Polarkoordinatensubstitution: $\begin{eqnarray} x = r \cos t \, , \ \ y = \frac{1}{2} \, r \sin t \end{eqnarray}$ Das ist gerade so gemacht, daß $\begin{eqnarray} x^2 + 4y^2 = r^2 \end{eqnarray}$ gilt. Das nutzt sowohl etwas bei der Umformung des Integranden (dabei den Betrag der Funktionaldeterminanten nicht vergessen) als auch bei der Parametrisierung des Integrationsgebietes. Welches sind die Intervallgrenzen für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ im Doppelintegral? $\begin{eqnarray} \int \limits_{x^2 + 4y^2 \leq 4} \ldots~\dd (x,y) = \int \limits_{\text{???}}^{\text{???}} \left( \int \limits_{\text{???}}^{\text{???}} \ldots~\dd r \right)~\dd t \end{eqnarray}$
22.06.2008, 21:30	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
laso mein entergenis...ich hab da es sich um dredimensionale sache handelt..muss man ja über die differenz der beiden funktionen integrieren..also (4-y²)-(x²+3y²) -> -x²+y² in das habe ich integiert..komm raus -x³/3 + y³/3... und wie setze ich jetzt da die grenze x²+4y²<gleich 4...wenn ich das hab hab ichs engültig
22.06.2008, 21:32	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
ok garde wo ich es geschriben hab hast du gepostst ich proboers mal..=)))
22.06.2008, 21:36	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
also die grenzen sind mal denk ich für 0<gleich (r) <gleich 4 und für t von -pie bis pie denk ich mal..richtig?=
22.06.2008, 21:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was rechnest du denn? $\begin{eqnarray} (4-y^2) - (x^2 + 3y^2) = 4 - (x^2 + 4y^2) \end{eqnarray}$ Und irgendwie scheint da ein Mißverständnis vorzuliegen: Mit $\begin{eqnarray} x^2 + 4y^2 \leq 4 \end{eqnarray}$ wird ein Integrationsbereich beschrieben. Um Integrationsgrenzen geht es erst, wenn man mit Fubini die Sache in Doppelintegrale umformt. $\begin{eqnarray} x^2 + 4y^2 \leq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ r^2 \leq 4 \end{eqnarray}$ Was heißt das also für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ? Der Bereich für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ stimmt.
22.06.2008, 21:49	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
letztes mal noch..also intgrier ich jetzt soe wie du es geschrieben hast in INTEGRAL (INTEGRAL( -(r*cos t )² + (1/2 r sin t )²)...natürlich in den grenzen..die ich noch nicht ganz sicher bin...da ja die diffrenz -x²+y² hatte noch nie so eine lange mathematische geburt..danke für den beistand=)
22.06.2008, 21:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, verstehen tu ich das nicht. Aber solange du zufrieden bist ...
22.06.2008, 21:53	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
grenzen von 0 bis 2 ??? für r omg ich hasse das gerade so sehr=)
22.06.2008, 22:00	awer	Auf diesen Beitrag antworten »
das problem ist jah dass ihch das bsp bis morgen vorbereiten muss und wir dass noch nicht gemacht haben..aber mein tutor gemeint hat um meine note zu verbessern..muss ich das bsp ausarbeiten und präsentieren auch wenn wir das noch nicht gemacht haben :/
23.06.2008, 07:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution $\begin{eqnarray} x = r \cos t \, , \ \ y = \frac{1}{2} \, r \sin t \ \ \ \text{mit} \ \ r \geq 0 \, , \ - \pi \leq t \leq \pi \end{eqnarray}$ Damit gilt $\begin{eqnarray} x^2 + 4y^2 = \left( r \cos t \right)^2 + 4 \left( \frac{1}{2} \, r \sin t \right)^2 = r^2 \left( \cos^2 t + \sin^2 t \right) = r^2 \end{eqnarray}$ Bestimmung der Grenzen $\begin{eqnarray} x^2 + 4y^2 \leq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ r^2 \leq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ 0 \leq r \leq 2 \end{eqnarray}$ Da sich für die $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ keine Bedingung ergibt, muß über das maximal mögliche $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Intervall, also $\begin{eqnarray} [-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ , integriert werden. Funktionaldeterminante $\begin{eqnarray} \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,t)} = \begin{vmatrix} \cos t & -r \sin t \\ \frac{1}{2} \, \sin t & \frac{1}{2} \, r \cos t \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \, r \end{eqnarray}$ Umrechnen des Integranden auf die neuen Variablen: $\begin{eqnarray} \left( \left( 4 - y^2 \right) - \left( x^2 + 3y^2 \right) \right)~\dd (x,y) = \left( 4 - \left( x^2 + 4y^2 \right) \right)~\dd (x,y) = \left( 4 - r^2 \right) \cdot \frac{1}{2} \,r~\dd (r,t) \end{eqnarray}$ Fubini $\begin{eqnarray} \int \limits_{x^2 + 4y^2 \leq 4} \left( \left( 4 - y^2 \right) - \left( x^2 + 3y^2 \right) \right)~\dd (x,y) = \int \limits_0^2 \left( \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left( 4 - r^2 \right) \cdot \frac{1}{2} \, r~\dd t \right)~\dd r = 4 \pi \end{eqnarray}$

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