allgemeiner Mittelwertsatz

23.03.2006, 16:20

Seniorina

allgemeiner Mittelwertsatz

Hallöchen!

bin grad am Analysis-Lernen und komm an nem Punkt nicht weiter...

1) "Allgemeiner Mittelwertsatz

Seien f,g [a,b] ----> R stetig u. auf D = ]a,b[ differenzierbar. Dann ex. p $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ D mit

f'(p) (g(b) - g(b) ) = g'(p) (f(b) - f(a)) "

Soweit ist mir das ganze noch klar...

Aber dann kommt

2) " Ist g'(x) = 0 für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ D so ist auch g(a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ g(b) und es folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{f'(p)}{g'(p)} \end{eqnarray*}$ "

Als Beweis dazu steht:

3) Wäre g(a) = g(b) , so wäre nach dem Satz von Rolle g'(x) = 0 für ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ]a,b[ WIDERSPRUCH.

Ich verstehe jedoch nicht, wieso bei 2) überhaupt diese Formel entstehen kann, wenn doch g'(x) = 0 ist, wäre doch auch g'(p) = 0 oder???? Somit wäre es doch gar nicht definiert?????

Und wieso dieser Widerspruch??? Satz von Rolle sagt doch eigentlich genau das aus, oder???

Hat vielleicht irgendjemand eine Idee???? Wäre echt super!!! Denn ich blicke da nicht mehr durch!!

23.03.2006, 17:15

Leopold

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Der Druckfehlerteufel: gleich statt ungleich.

23.03.2006, 17:16

therisen

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Hallo Seniorina,

zunächst einmal ist der Satz falsch formuliert. Es muss $\begin{eqnarray*} g'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ im offenen Intervall heißen. Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/ Mittelwert...rentialrechnung
Der Beweis zu 3) ist außerdem unvollständig. Es wird lediglich gezeigt, dass die Funktionswerte der Randpunkte unterschiedlich sein müssen (unter den gegebenen Voraussetzungen).

Gruß, therisen

23.03.2006, 17:19

seniorina

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Dankeschön!!!!!!!!!!!!!!!!! Wink

Jetzt wird mir alles klar!!! Dann versteh ich das ganze doch!!! ;-)

23.03.2006, 18:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von therisen
zunächst einmal ist der Satz falsch formuliert. Es muss $\begin{eqnarray*} g'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ im offenen Intervall heißen.
...
Der Beweis zu 3) ist außerdem unvollständig. Es wird lediglich gezeigt, dass die Funktionswerte der Randpunkte unterschiedlich sein müssen (unter den gegebenen Voraussetzungen).

Hallo Michi!
Es ist $\begin{eqnarray*} g'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ gefordert. Nun ist aber $\begin{eqnarray*} D:=(a,b) \end{eqnarray*}$ , steht weiter oben.
Und ich glaube, Seniorina ging es nur um diese Passage. Den ganzen Beweis muss sie dann ja nicht posten. Augenzwinkern

Gruß MSS

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