Diophantische Gleichung |
22.06.2008, 00:08 | Hama | Auf diesen Beitrag antworten » |
Diophantische Gleichung Ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter. Und zwar soll man zeigen, dass genau jede Primzahl mit und für die ein existiert mit (also p ist quadr. Rest mod 163) eine Darstellung existiert. Wenn man y=1 setzt hat man ja das Euler-Polynom (das lauter Primzahlen liefert für ganze Zahlen x zwischen 0 und 39). Kann man das hier verwenden? |
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22.06.2008, 10:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fur die eine der beiden Beweisrichtungen sollte noch die Darstellung nützlich sein. Die andere Richtung scheint aufwändiger zu sein - ob bzw. inwieweit da deine Übrlegung was nützt, kann ich im Moment noch nicht beurteilen. |
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23.06.2008, 00:36 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Arthur Dents Überlegung ist hier recht nützlich, insofern, dass es genügt, nach der Darstellbarkeit in der Form X² + 163Y² zu fragen. Das lässt sich über faktorisieren, welches ein faktorieller Ring ist. Es muss also lediglich gezeigt werden - wenn p die Anforderungen in der Aufgabe erfüllt, dann gibt es ein Element a in mit der Norm N(a) = p. Dafür genügt es zu beweisen, dass p kein Primideal in erzeugt. Dann zerfällt nämlich p wegen N(p) = p² in Faktoren a, b mit N(a) = p und N(b) = p. Es gibt noch einen wesentlichen "Trick", den du hier benötigst, allerdings möchte ich dir hier auch nicht die ganze Aufgabe weglösen (kleiner Tipp - Erweiterungen endlicher Körper) Gruß, Carsten |
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23.06.2008, 18:40 | Piere | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mal als Zwischenfrage - weil wir gerade auch diophantische Gleichungen behandeln: Ich stehe wohl auf der Leitung, aber warum genügt es, Darstellungen der Form X² + 163Y² zu betrachten? Was ist mit der 4 vor dem p? |
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23.06.2008, 23:08 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist dadurch zu erklären, dass wir im Grunde nur die Darstellbarkeit von p durch X² + 163Y² benötigen, um zunächst die Darstellbarkeit von 4p durch selbige Form und somit die Darstellbarkeit von p durch X² + XY + 41Y² folgern zu können. Andernfalls macht der Terml p = X² + XY + 41Y² diverse Probleme, da er sonst nicht gescheit auf die "einfachere" Form X² + 163Y² zurückgeführt werden kann (die wir ja elementar in Angriff nehmen können). Daher die Multiplikation mit 4. Gruß, Carsten EDIT: Kleine Ungenauigkeiten gefüllt |
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