Diophantische Gleichung

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Hama Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichung
Hi!

Ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter. Und zwar soll man zeigen, dass genau jede Primzahl mit und für die ein existiert mit (also p ist quadr. Rest mod 163) eine Darstellung



existiert.

Wenn man y=1 setzt hat man ja das Euler-Polynom (das lauter Primzahlen liefert für ganze Zahlen x zwischen 0 und 39). Kann man das hier verwenden?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Fur die eine der beiden Beweisrichtungen sollte noch die Darstellung



nützlich sein. Die andere Richtung scheint aufwändiger zu sein - ob bzw. inwieweit da deine Übrlegung was nützt, kann ich im Moment noch nicht beurteilen.
 
 
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur Dents Überlegung ist hier recht nützlich, insofern, dass es genügt, nach der Darstellbarkeit in der Form

X² + 163Y²

zu fragen. Das lässt sich über faktorisieren, welches ein faktorieller Ring ist.

Es muss also lediglich gezeigt werden - wenn p die Anforderungen in der Aufgabe erfüllt, dann gibt es ein Element a in mit der Norm N(a) = p. Dafür genügt es zu beweisen, dass p kein Primideal in erzeugt. Dann zerfällt nämlich p wegen N(p) = p² in Faktoren a, b mit N(a) = p und N(b) = p.

Es gibt noch einen wesentlichen "Trick", den du hier benötigst, allerdings möchte ich dir hier auch nicht die ganze Aufgabe weglösen Augenzwinkern (kleiner Tipp - Erweiterungen endlicher Körper)

Gruß,
Carsten
Piere Auf diesen Beitrag antworten »

Mal als Zwischenfrage - weil wir gerade auch diophantische Gleichungen behandeln:

Ich stehe wohl auf der Leitung, aber warum genügt es, Darstellungen der Form X² + 163Y² zu betrachten? Was ist mit der 4 vor dem p?
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dadurch zu erklären, dass wir im Grunde nur die Darstellbarkeit von p durch X² + 163Y² benötigen, um zunächst die Darstellbarkeit von 4p durch selbige Form und somit die Darstellbarkeit von p durch X² + XY + 41Y² folgern zu können.
Andernfalls macht der Terml p = X² + XY + 41Y² diverse Probleme, da er sonst nicht gescheit auf die "einfachere" Form X² + 163Y² zurückgeführt werden kann (die wir ja elementar in Angriff nehmen können).
Daher die Multiplikation mit 4.

Gruß,
Carsten

EDIT: Kleine Ungenauigkeiten gefüllt
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