Differentialgleichung sgn-Funktion

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Assyrian4ever Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung sgn-Funktion
Hallo liebe Community.

Ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabe, mit der icbh iwie nicht zurecht komme bzw. nix anfangen kann.

http://www.pexy.net/p/1f2118f3306cc46202a53376712c4722.jpg

Ich hoffe, ihr könnt mir schnellstmöglich helfen und evtl. Denkansätze mitteilen.

MfG
Assyrian4ever
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum untersuchst du die angegebenen nicht einfach auf Differenzierbarkeit (nur die Stelle ist einer kurzen Überlegung wert) und setzt sie in die vorliegende Differentialgleichung ein? Das sollte sich dann eine Identität ergeben.
Da ist nur rechnen. Nur bei der Zusatzfrage ist dann auch noch ein bißchen zu denken ...
Assyrian4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmmmmm.....okey...also ich hab jetzt mal die Funktion f(t) = (t-c)² abgeleitet und komme auf f`(t) = 2t-2c

Eine mögliche Extremstrelle wäre dann bei t = c

Dann setzt ich das für die Differentialgleichung ein und erhalte folgenden Ausdruck:

2t-2c = 2 * sgn((t-c)²) *

Und nun???? unglücklich unglücklich
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

1. Für welche t gilt diese Ableitung?
2. Versuche doch, die Gleichung nun umzuformen.

Bedenke dazu folgende Dinge:

- Welche Werte kann die signum-Fkt. nur noch annehmen, die du da stehen hast? Für welche Werte treten diese Fälle ein?

- Der Radikand ist der Betrag eines Quadrates. Was bedeutet dies für den Betrag?

- Was ist die Wurzel aus einem Quadrat (bzw. einem quadrierten Term)?

- Bedenke wie in 1. gesagt, für welche t du evtl. eine andere Ableitung einsetzen musst.

Wenn du das mal alles eben durchdenkst, kommst du schnell zum Ziel.

air
Assyrian4ever Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okey...also die Ableitung F´(t) = 2t-2c gilt ja für

einsetzen in die diff.gleichung:

2t-2c = 2*sgn((t-c)²) * |t-c|

So jetzt guck ich mir den sgn-Term an und muss da die einzelnen Fälle betrachten:

1. Fall: sgn((t-c)²) = 1 , wenn (t-c)² > 0 bzw. t-c >0 --> t > c

2. Fall: sgn((t-c)²) = 0 , wenn (t-c)² = 0 --> t = c

=> die ersten beidne Fälle erfüllen also die Bdeingungen für die erste Ableitung, die ich gebildet habe

3. Fall : sgn((t-c)²) = -1 , wenn (t-c)² < 0 --> t < c => der 3. fall erfüllt die Bedingungen für die erste Ableitung nicht.

Ja und nun???? verwirrt unglücklich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Assyrian4ever
(t-c)² < 0 --> t < c

Guck dir das bitte nochmal an und denke einmal darüber nach, was für ein Vorzeichen das Quadrat einer reellen Zahl haben kann.
 
 
Assyrian4ever Auf diesen Beitrag antworten »

asoo ja stimmt ja kann sowohl + als - sein ...das quadrat ist ja immer positiv.

aber dennoch iwie check ich die aufgabe imem rnoch nicht so richtig verwirrt verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich helfe dir mal ein bisschen.
Für t >= c haben wir also





Nun erstmal der erste Faktor:

Es ist stets .
Für ist .
Den anderen Fall, also , können wir also trivial erachten. Die Signumfunktion ergibt hier 0 und auf der linken Seite d. Gleichung steht dann auch 0 - die Gleichung stimmt also.

Nun ist beim Radikanden der Wurzel , da auch hier selbiges wie oben gilt. Die Wurzel daraus ist dann .
Letztes Gleichheitszeichen gilt wg. t >= c.

Insgesamt erhalten wir für t >= c also:



Nun arbeite mal so ähnlich für den Fall t < c. Freude

Edit:
Ich Idiot. Der Fall t < c ist ja genauso trivial wie der Fall t = c verwirrt

air
Assyrian4ever Auf diesen Beitrag antworten »

für (t-c)² < 0müsste ja sgn ((t-c)²) = 1 sein, denn das wird ja quadrriert und das qudrat ist doch immer positiv!

damit würde sich folgendes ergeben:

t-c = 1 * (t-c) ---> wahre Aussage

Oder??? verwirrt verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man nach so langer Behandlung dieser Aufgabe nur so unkonzentriert sein? unglücklich

Quadrate reeller Zahlen sind stets nichtnegativ! Wenn man also lang und breit über den Fall spricht, dann redet man nur über die leere Menge - pure Zeitverschwendung...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die in einigen Fällen ganz interessant. Augenzwinkern Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Klar. Lassen sich Aussagen der Form leichter beweisen, als wenn ist? Big Laugh

air
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