analyt. Geom., Berechnung des Mittelpunktes und Radiusses

22.06.2008, 10:41

Dalice66

analyt. Geom., Berechnung des Mittelpunktes und Radiusses

Hallo Leute,
ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz:

Berechnen sie bitte den Mittelpunkt und Radius einer Kugel durch A(2|0|0), B(1|1|0), C(-1|1|4) und D(-3|7|6)

Die Formel zur Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke lautet:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{0X}+\overrightarrow{0Y}) \end{eqnarray*}$

Das ist einleuchtend und verständlich. Mir wirft sich jetzt die Frage auf, dass bei der Mantelfläche einer Kugel die Punkte quer über diese verteilt sein können, wobei alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben müssen. Das muss aber nicht heißen, dass sich die hier angegebenen Punkte genau gegenüber liegen und deren Strecke zueinander genau durch den Mittelpunkt verläuft. Wie fange ich an?

22.06.2008, 10:44

tmo

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Setze die 4 Punkte in die allgemeine Kugelgleichung ein.

Du erhältst dann 4 Gleichungen, die du jeweils voneinander abziehst um ein LGS zu erhalten.

22.06.2008, 11:25

Dalice66

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Ich habe damit zwar noch nie gearbeitet, doch will ich mich mal versuchen.

M soll sein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-u)^2+(y-v)^2+(z-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

A(2|0|0)

$\begin{eqnarray*} (2-u)^2+(0-v)^2+(0-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4u+u^2+v^2+w^2=r^2|\sqrt{ } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-u+v+w=r \end{eqnarray*}$

Ich habe noch nicht mit LGS gearbeitet, somit stocher ich hier im Blauen...

22.06.2008, 11:27

tmo

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Zitat:

Original von Dalice66
Ich habe damit zwar noch nie gearbeitet, doch will ich mich mal versuchen.

M soll sein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-u)^2+(y-v)^2+(z-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

A(2|0|0)

$\begin{eqnarray*} (2-u)^2+(0-v)^2+(0-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4u+u^2+v^2+w^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Hier hörst du bitte auf. Alles was danach kam, war Mist.

Jetzte mache das noch mit den anderen Punkten.

Zitat:

Original von Dalice66
Ich habe noch nicht mit LGS gearbeitet, somit stocher ich hier im Blauen...

Und wie kann es dann sein, dass du dich mit Analytischer Geometrie beschäftigst? verwirrt

22.06.2008, 11:58

Dalice66

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1) Ich hatte so eine Aufgabe in der Form noch nie und
2) hatte ich noch nie ein LGS erstellt, denn sonst würde ich nicht fragen geschockt

....

A(2|0|0)

$\begin{eqnarray*} (2-u)^2+(0-v)^2+(0-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4u+u^2+v^2+w^2=r^2 \end{eqnarray*}$

B(1|1|0)

$\begin{eqnarray*} (1-u)^2+(1-v)^2+(0-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-2u+u^2-2v+v^2+w^2=r^2 \end{eqnarray*}$

C(-1|1|4)

$\begin{eqnarray*} (-1-u)^2+(1-v)^2+(4-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 18+2u+u^2-2v+v^2-8w+w^2=r^2 \end{eqnarray*}$

D(-3|7|6)

$\begin{eqnarray*} (-3-u)^2+(7-v)^2+(6-w)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 94+6u+u^2-14v+v^2-12w+w^2=r^2 \end{eqnarray*}$

So, jetzt alles voneinander abziehen:

$\begin{eqnarray*} -110-10u-2u^2+18v-2v^2+4w-2w^2=r^2 \end{eqnarray*}$

22.06.2008, 12:03

tmo

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Was heißt denn "erstellen"? Das erstellt sich von alleine.

Jetzt mache das gleich doch noch mit den anderen Punkten und schreib dann nochmal alle 4 Gleichungen untereinander.

PS: du hast hier übrigens das $\begin{eqnarray*} =r^2 \end{eqnarray*}$ am Ende vergessen.

22.06.2008, 12:39

Dalice66

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So,
ich habe das mal hingeschrieben. Es steht aber durch die zeitliche Verschiebung meines Editierens weiter oben...

22.06.2008, 13:00

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Du erhältst dann 4 Gleichungen, die du jeweils voneinander abziehst um ein LGS zu erhalten.

Mit "jeweils" meinte ich: Die erste minus die zweite, die zweite minus die dritte und die dritte minus die vierte.

Dann hast du 3 lineare Gleichungen mit 3 Variablen, also ein LGS.

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