Abstand zweier windschiefer Geraden

24.03.2006, 05:22	teamkilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zweier windschiefer Geraden Hallo nochmal, Ich habe zwei Geraden gegeben: $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zuerst soll ich nachweisen, dass die beiden Geraden sich nicht schneiden.. das hab ich schon gemacht (sind windschief!) Jetzt soll ich den Abstand der beiden Geraden berechnen.. ich denke mal, man macht das, indem man eine Ebenengleichung für jede der Geraden aufstellt und dann den Abstand der beiden Ebenen zueinander berechnet, richtig? Und wenn ja, kann mir einer von Euch einen Rechenansatz geben? Ich weiß nämlich nur, dass ich den Richtungsvektor der jeweiligen Gerade für die jeweilige Ebene als Spannvektor benutzen könnte.. und dann hörts bei mir auf Help, please!
24.03.2006, 06:44	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
dann kannst du doch recht einfach eine Ebene in Parameterform aufstellen mit (6 1 3) als Aufpunkt (sry, bin grad zu faul für LaTeX und solange die Lesbarkeit nicht drunter leidet...) und mit (2 1 -2) und (0 1 2) als Richtungsvektoren Diese Ebene ist parallel zur Geraden h. Die Berechnung des Abstands Ebene Punkt ( (4 5 -3) ) ist bekannt?
24.03.2006, 12:37	teamkilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi DGU.. danke schonmal, okay, dann würde die Ebenengleichung lauten: $\begin{eqnarray} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und der Abstand zum Punk (4 / 5 / -3).. hmm würde man dann über Lotfußpunkt machen, oder so,richtig? Bin aber nicht sicher, wie das geht...
24.03.2006, 12:43	-felix-	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, man könnte den Lotfußpunkt ausrechnen und damit den Abstand berechnen. Alternativ könntest du auch den Abstand über die Hesse-Normalform der Ebenengleichung berechnen.
24.03.2006, 15:01	teamkilla	Auf diesen Beitrag antworten »
*hmmmm kommt als Abstand $\begin{eqnarray} \sqrt{29} \end{eqnarray}$ raus?* Hab als Lotfußpunkt den Normalenvektor der Ebene genommen N (2 / -2 / 1) und dann Abstand zwischen diesem Vektor und Punkt A ( 6/ 1/3) berechnet (einfach Länge des Vektors AN)...
24.03.2006, 22:00	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
noch ein Tipp: $\begin{eqnarray} d(g,h)=\|(q_0-p_o)n_o\| \end{eqnarray}$ . dabei ist $\begin{eqnarray} g:x=p_o+ra \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h:x=q_o+sb \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray*}$ der Normaleneinheitsvektor zu a und b.
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