verständnis orthogonales komplement

22.06.2008, 12:12

Luci

verständnis orthogonales komplement

hallo ich habe eine Verständnisfrage zum orthogonalen Komplement.

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und W ein k-linearer Unterraum, dann ist
(das "T" soll auf dem Kopf stehen, wusste nicht, wie das geht)
$\begin{eqnarray*} W^T := \{v \in V : <v,w> = 0 \forall n \in W\} \end{eqnarray*}$ das orthogonale Komplement zu W
Geometrisch bedeutet das: alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ für die gilt, dass sie senkrecht zu w sind.

Nun soll gelten: $\begin{eqnarray*} V = W + W^T \end{eqnarray*}$

wenn ich mir aber das Beispiel anschaue: $\begin{eqnarray*} dim V = 3, dim W = 2 (W = \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ dann ist z.b. ein Vektor in $\begin{eqnarray*} W = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der senkrecht ist zu einem vektor in $\begin{eqnarray*} W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W^T \end{eqnarray*}$ ist also = V und nicht = V-W

hab ich da irgendwo einen Denkfehler? kann mir das bitte jemand erklären?
vielen Dank Luci

22.06.2008, 17:11

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luci
Geometrisch bedeutet das: alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ für die gilt, dass sie senkrecht zu w sind.

Dieser Satz ist, so wie er da steht, falsch. Es müsste ein großes W sein oder man sagt folgendes: Im orthogonalen Komplement liegen all die Vektoren $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ , die zu jedem Vektor $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ orthogonal sind. Das wichtige dabei ist, dass die Vektoren im orthogonalen Komplement zu jedem Vektor aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ortogonal sind und nicht nur zu einem einzigen.

Dein Beispiel macht irgendwie wenig Sinn. Was soll denn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sein? Etwa der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja: $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist dann bei dir doch der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , also ganz sicher kein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Ein solcher wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} W=\left\{\left.\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}\ \right|\ x,z\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$ .

22.06.2008, 20:26

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke. das hab ich verstanden. ich hatte einfach übersehen, dass es ja für alle w aus W gelten muss.

ich hab aber noch eine frage:

wir haben eine aufgabe:
Sei V ein VR und W k-lin. UR von V
Ist W von V verschieden, so gibt es eine nicht triviale Linearform

$\begin{eqnarray*} l: V \longrightarrow K \end{eqnarray*}$

welche auf W identisch Null ist (d.h. jeder echte Unterraum liegt ganz in einer Hyperebene)

so:

ich weiß nicht, was mit "auf W identisch Null" gemeint ist. heißt das, wenn ich W statt V in die Abbildung setze, wird jedes K=0 ? oder wie muss ich das verstehen?

ich weiß: eine Menge der Gestalt

$\begin{eqnarray*} V(f) = \{x \in K^n: f(x) =0 \} \end{eqnarray*}$ heißt Hyperfläche
mit $\begin{eqnarray*} f(x_1, ... , x_n) = \sum_{a_1+..+a_n \leq m}^-~c_{a_1,..,a_n} x_1^{a_1} x_2^{a_2} .. x_n^{a_n} \end{eqnarray*}$ als Polynom mit Grad m

(hier versteh ich zb nicht, was $\begin{eqnarray*} c_{a_1,..,a_n} \end{eqnarray*}$ heißt. ) und wird über allen $\begin{eqnarray*} a_1 ,...a_n \end{eqnarray*}$ nacheinander summiert und das ganze wieder summiert oder das dann multipliziert, oder sind das elemente, die dann einen Vektoren bilden? mir sagt es leider gar nichts.

es gilt weiter: $\begin{eqnarray*} m= a_1 + ..+a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{a_1,..,a_n} \neq 0 \end{eqnarray*}$
aber ich versteh einfach nicht, was das mit meiner aufgabe zu tun hat

ich wäre für eine möglichst einfache erklärung dankbar
viele grüße luci

22.06.2008, 22:33

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luci
ich weiß nicht, was mit "auf W identisch Null" gemeint ist. heißt das, wenn ich W statt V in die Abbildung setze, wird jedes K=0 ? oder wie muss ich das verstehen?

Das macht keinen Sinn. Du kannst in eine Abbildung, die Vektoren eine Zahl zuordnet, keinen Unterraum einsetzen. Auch das $\begin{eqnarray*} K=0 \end{eqnarray*}$ ist nicht wirklich sinnvoll.

Die Aufgabe bedeutet folgendes: Du sollst eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in den Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ finden, welche nicht die Nullabbildung ist. Außerdem soll die Abbildung, eingeschränkt auf den Unterraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ aber die Nullabbildung sein. Das heißt: Du musst ein solches $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ finden, für das $\begin{eqnarray*} l(w)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ gilt, welches jedoch mindestens einen Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ (der dann natürlich nicht in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegen darf) nicht auf Null abbildet.

Was du danach hinschreibst, hat mit dieser Aufgabe nichts zu tun. Eine Hyperfläche ist etwas anderes als eine Hyperebene. Eine Hyperebene ist einfach ein Unterraum, der eine um eins niedrigere Dimension hat als der Vektorraum selbst (solange der Vektorraum endlich-dimensional ist). Was diese Klammer einem dort sagen soll, weiß ich allerdings auch nicht. Diese Aussage in der Klammer beweist man normalerweise, wenn man sich mit Basen von Vektorräumen beschäftigt.

Neue Frage »

Antworten »

verständnis orthogonales komplement

Verwandte Themen