komplexe Zahl mit Potenz berechnen

22.06.2008, 15:28

Guliver

komplexe Zahl mit Potenz berechnen

hi,

habe hier diese Aufgabe

$\begin{eqnarray*} z=(1 + \sqrt{3} \cdot i)^5 \end{eqnarray*}$

die soll ich jetzt berechnen. Gibt es da einen Trick wie man um das ausmultiplizieren rauskommt oder muss ich jetzt wirklich die "langen" weg übers ausmultiplizieren gehen?

22.06.2008, 15:33

tmo

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So lang ist der Weg gar nicht.

Erst quadrieren (binomische Formel!), dann zusammenfassen, nochmal quadrieren, wieder zusammenfassen. Und dann noch einmal multiplizieren.

22.06.2008, 15:44

Guliver

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Zitat:

Original von tmo
So lang ist der Weg gar nicht.

Erst quadrieren (binomische Formel!), dann zusammenfassen, nochmal quadrieren, wieder zusammenfassen. Und dann noch einmal multiplizieren.

wieso quadrieren ?

22.06.2008, 15:45

tmo

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$\begin{eqnarray*} a^5 = (a^2)^2 \cdot a \end{eqnarray*}$

22.06.2008, 16:03

Guliver

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also:

$\begin{eqnarray*} (1 + \sqrt{3}i)^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1^2 + \sqrt{3}i^2)^2 \cdot (1 + \sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-0.732)^2 \cdot (1 + \sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5358 \cdot (1 + \sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5358 + 0.928i \end{eqnarray*}$

so?

22.06.2008, 16:11

Airblader

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Es ist mir ein Rätsel, wie man auf sowas kommen kann, wenn man mit komplexen Zahlen bereits umgeht verwirrt

Kennst du den Begriff "Binomische Formel" denn überhaupt? Wenn ja - kommt es dir nicht seltsam vor, dass du damit nicht umgehen musstest, obwohl man es dir gesagt hat?
Wie kommst du denn auf die wahnsinnige Idee, dass

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = (a^2+b^2) \end{eqnarray*}$

sein soll verwirrt

Wenn das so toll einfach wäre, dann wäre doch auch einfach

$\begin{eqnarray*} (1+i\sqrt{3})^5 = 1^5 + i^5\sqrt{3}^5 \end{eqnarray*}$

tmo sagte $\begin{eqnarray*} a^5 = (a^2)^2 \cdot a \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} a = 1 + i\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .
Vergiss da mal nicht die Klammernsetzung, wenn du nun $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ bilden willst!

air

22.06.2008, 18:03

Nubler

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weiter gibts folgende alternativen:
einfach in des ding in $\begin{eqnarray*} z=re^{i\phi} \end{eqnarray*}$ , also polarkoordinaten umrechnen und des dann potenzieren

(oder man benutzt die eigenschaft, dass man die komplexe zahl der form z=a+ib auch als 2x2 matrix: $\begin{eqnarray*} z:=\begin{pmatrix} a\ & -b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ identifiziert werden kann. 2x2 matrix potentieren ist einfach)

dritte variante: sag einfach sagen, des is n binom => binomische formen $\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum\,... \end{eqnarray*}$ , dann einfach alles zamsammeln und fertig...

...

22.06.2008, 18:50

Guliver

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Zitat:

Original von Nubler
weiter gibts folgende alternativen:
einfach in des ding in $\begin{eqnarray*} z=re^{i\phi} \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} z = (1+\sqrt{3})^5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z = 2 \cdot e^{i \cdot 1.047} \end{eqnarray*}$

so? und dann noc potenzieren?

22.06.2008, 19:02

tmo

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Wenn du es so machst, solltest du wenigstens $\begin{eqnarray*} \arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ benutzen.

22.06.2008, 19:10

Guliver

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okay, also ist die lösung dann

$\begin{eqnarray*} z = (2e^{i \cdot \frac{\pi}{3}})^5 = 2e^{i \cdot 5 \cdot \frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

wenn ich davon jetzt den realteil und imaginärteil will rechne ich wieder zurück:

Re = $\begin{eqnarray*} x = 2 * cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \end{eqnarray*}$

Im = $\begin{eqnarray*} y = 2 * sin(\frac{\pi}{3}) = 1.732 \end{eqnarray*}$

so richtig?

22.06.2008, 19:14

Guliver

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Zitat:

Original von Guliver
okay, also ist die lösung dann

$\begin{eqnarray*} z = (2e^{i \cdot \frac{\pi}{3}})^5 = 2e^{i \cdot 5 \cdot \frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

wenn ich davon jetzt den realteil und imaginärteil will rechne ich wieder zurück:

Re = $\begin{eqnarray*} x = 2 * cos(\frac{5 \pi}{3}) = 1 \end{eqnarray*}$

Im = $\begin{eqnarray*} y = 2 * sin(\frac{5 \pi}{3}) = -1.732 \end{eqnarray*}$

so richtig?

*update* hab die fünf vergessen in den winkelfunktionen

22.06.2008, 19:15

tmo

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Das ist falsch. Die 2 muss auch potenziert werden.

Weiterhin solltest du $\begin{eqnarray*} \sin \frac{5 \pi}{3} \end{eqnarray*}$ genau angeben.

22.06.2008, 19:54

Guliver

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$\begin{eqnarray*} z = (2e^{i \cdot \frac{\pi}{3}})^5 = 32e^{i \cdot 5 \cdot \frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

Re = $\begin{eqnarray*} x = 32 * cos(\frac{5 \pi}{3}) \end{eqnarray*}$

Im = $\begin{eqnarray*} y = 32 * sin(\frac{5 \pi}{3}) \end{eqnarray*}$

jetzt aber?!

22.06.2008, 20:15

Nubler

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die sinus und cosinuswerte kann man explizit ausrechnen

22.06.2008, 20:20

tmo

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Dazu:

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{5\pi}{3} = \sin -\frac{\pi}{3} = - \sin \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Den Wert auf der rechten Seite kann man z.b. am gleichseitigen Dreieck bestimmen.

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