Das Einfärben von n-Ecken |
| 22.06.2008, 16:31 | ChristophH | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Das Einfärben von n-Ecken Also meine erste Idee war, dass jede der p Seiten mit einer von n Farben eingefrbt werden kann, was n^p Färbungen ermöglicht und das teile ich dann durch die Anzahl an Seiten, um die Färbungen herauszubekommen, die durch Rotation entstehen. Allerdings habe ich mir mal alle Möglichkeiten aufgeschrieben, ein Dreick mit 3 Farben zu versehen und bin auf 10 gekommen, nach meinem Ansatz müssten es aber 9 sein. Hat jemand eine Idee, wie ich an das Problem herangehen kann, was ich falsch gemacht habe und warum p eigentlich eine Primzahl sein muss? Mir würde auch ein Fingerzeig in die richtige Richtung reichen, dann probier ichs selbst und wenn ich dann immer noch nicht auf die Lösung komme, frag ich nochmal!? LG |
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| 22.06.2008, 17:31 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du sogar noch eine Variante vergessen: Es sind sogar 11. Genaueres hier: Kombinatorik Aufgabe |
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| 22.06.2008, 18:41 | ChristophH | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann versuch ich mal da weiter zu machen, wo Gast2008 aufgehört hat... Die Färbung, die ich vergessen hatte, hab ich jetzt gefunden. Den verlinkten Thread hab ich mir angeschaut, aber vielmehr als "Zieh von allen möglichen Färbungen die ab, die durch Drehung ineinander übergehen." kann ich da nicht herauslesen...
Aber durch diese Überlegung bekomme ich z.B. aus den 3^3 möglichen Färbungen eines Dreiecks mit 3 Farben nicht auf die Färbungen rrb und rbr. |
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| 22.06.2008, 18:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
3 der 27 Färbungen (nämlich die monochromatischen) gehen durch Drehung in sich selbst über. 24 der 27 Farbungen gehen bei jeder Drehung in eine andere Färbung über. Diese 24 kann man zu Dreiergruppen von Färbungen gruppieren: Innerhalb einer Gruppe gehen diese Färbungen durch Drehungen ineinander über! Also gibt es die 8+3 = 11 Färbungen. Und jetzt bitte allgemein! |
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| 22.06.2008, 18:49 | ChristophH | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah alles klar. Man muss sich natürlich zuerst klar machen, was mit den monochromatischen Färbungen passiert, weil die eben durch Drehung nicht in eine andre Färbung übergehen... Jetz versteh ich den Hinweis ^^ Dann hab ich allgemein also insgesamt n^p Mgl, davon zieh ich die n Monochromatischen ab und die restilchen n^p - n teilen sich in (n^p - n)/p Äquivalenzklassen auf. Ergibt insgesamt (n^p - n)/p + n Färbungen. Stimmt das? |
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| 22.06.2008, 18:52 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. 
So ganz nebenbei schaut aus dieser Formel der kleine Fermat heraus - wer den nicht kennt, wundert sich vielleicht, wieso immer ganzzahlig ist. 
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| 22.06.2008, 18:54 | ChristophH | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jep, da bin ich auch grad drüber gestoplert. Gibts einen schicken, verständlichen und intuitiven Beweis oder eine Möglichkeit, sich klar zu machen, warum das ganzzahlig ist? |
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| 22.06.2008, 18:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, z.B. diese Aufgabenlösung hier - sozusagen ein kombinatorischer Beweis.
Auf reiner Zahlen- bzw. Gruppentheorieebene bietet allein die Wikipedia 4 verschiedene Beweise - wenigstens einer davon sollte dir doch passen. |
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