(Zahlentheorie) Kubische diophantische Gleichung

22.06.2008, 18:27	Piere	Auf diesen Beitrag antworten »
(Zahlentheorie) Kubische diophantische Gleichung Wir beschäftigen uns gerade mit diophantischen Gleichungen. Bei folgender finde ich leider selbst keine Lösung: Aufgabe: Zeige, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} Y^2 = X^3 + 7 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ keine Lösung besitzt. Also mein erster Gedanke war natürlich, mod 7 zu reduzieren. Das bringt hier aber nichts, denn man müsste ja erhalten, dass die quadratischen Reste mod 7 nicht als Kuben darstellbar sind, was ja z.B. schon für 0 oder 1 nicht klappt. Aber wie kann man denn sonst noch vorgehen? Bei einer anderen Aufgabe konnte man ganz einfach faktorisieren und dann die Lösungen in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \end{eqnarray}$ durch Koeffizientenvergleich bestimmen (für das dort entsprechende d eben). Aber das klappt hier auch nicht, oder?
22.06.2008, 18:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
(Sorry, Irrtum).
23.06.2008, 00:00	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch das ganze Problem doch mal folgendermaßen zu betrachten: Betrachte die Gleichung Y² - 7 = X³ Die rechte Seite lässt sich nun über einer geeigneten Ringerweiterung faktorisieren. Wenn du jetzt geschickt vorgehst, und über bestimmte Eigenschaften des Rings (der heiße Tipp: faktoriell) weitere Eigenschaften der Faktoren feststellst, kannst du recht leicht einen Widerspruch erhalten. Gruß, Carsten EDIT: Ich hatte mich etwas knapp ausgedrückt: Y² - 7 lässt sich faktorisieren in $\begin{eqnarray} Y + \sqrt{7} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y - \sqrt{7} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathbb Z [\sqrt{7}] \end{eqnarray}$ faktoriell ist, müssen sowohl $\begin{eqnarray} Y + \sqrt{7} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} Y - \sqrt{7} \end{eqnarray}$ Kuben in dieser Ringerweiterung sein. Das kannst du tatsächlich mit einem Koeffizientenvergleich zum Widerspruch führen.
23.06.2008, 08:26	Piere	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, vielen Dank. Ich hatte gestern in einem Anflug geistiger Verwirrung versucht, über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{-7}] \end{eqnarray}$ zu faktorisieren. Wenn man es richtig macht, erhält man per Koeffizientenvergleich den Widerspruch, dass etwa $\begin{eqnarray} Y-\sqrt{7} \overset{!}{=} (a+b\sqrt{7})^3 \end{eqnarray}$ nicht mit ganzen a,b darstellbar ist, weil wegen $\begin{eqnarray} b=\pm 1 \end{eqnarray}$ für a folgt: $\begin{eqnarray} a = \pm \sqrt{\pm \frac{8}{3}} \notin \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ .

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