Reelle Zahl a -> Vektoren linear abhängig

25.03.2006, 11:59

L.i.t.t.l.e.

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Reelle Zahl a -> Vektoren linear abhängig

Hi,

wie muss ich folgende Aufgabe lösen? Bzw. wie sieht die Lösung einer solchen Aufgabe aus? Bekommt man für a genau eine reelle Zahl?

$\begin{eqnarray*} 3r + s + at = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + 0s + 2t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ar + 4s + t = 0 \end{eqnarray*}$

Die Vektoren müssen linear abhängig sein. Ich hab sie schon mal gleich ins LGS umgesetzt.

Thx

25.03.2006, 12:34

Leopold

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Wenn du schon Determinanten kennst, dann geht es damit. Die Determinante der drei Vektoren ist nämlich genau dann $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , wenn die Vektoren linear abhängig sind.
Wenn dir Determinanten kein Begriff sind, so bringe das lineare Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus auf Stufenform. Versuche dabei, Divisionen, bei denen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in den Nenner kommt, zu vermeiden (ansonsten Fallunterscheidung).

Hier ein Vorschlag, falls du selbst den Weg nicht findest (im andern Fall nicht weiterlesen):

1. Addiere das $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Gleichung zur dritten. Die erste und zweite Gleichung bleiben.

2. Addiere das $\begin{eqnarray*} (12-a) \end{eqnarray*}$ -fache der zweiten Gleichung zur dritten. Die erste und zweite Gleichung bleiben.

Und jetzt überlege, unter welcher Bedingung an $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ du die letzte Gleichung eindeutig nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auflösen kannst, was natürlich zu $\begin{eqnarray*} t=0, s=0, r=0 \end{eqnarray*}$ , also zur linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren führt. Für die anderen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegt lineare Abhängigkeit vor.

25.03.2006, 13:10

L.i.t.t.l.e.

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Die letzten zwei Zeilen hab ich nicht verstanden.
Ich hab jetzt erst mal die zwei Schritte die du mir genannt hast, ausgeführt.
Da kam folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (a-12)r + 0s - (4a-1)t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12r + 4s + (25-2a)t = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun?

Thx

25.03.2006, 13:23

Leopold

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Ich verstehe deine Rechnung schon deshalb nicht, weil du mir nur zwei Gleichungen nennst. Es liegt jedoch ein 3×3-System vor, so daß es nach jedem Umformungsschritt auch immer drei Gleichungen sein müssen. Auch wenn es etwas Schreibarbeit ist: Die Gleichungen, die beim jeweiligen Umformungsschritt gerade nicht bearbeitet werden, sind immer abzuschreiben.

Nenne mir bitte die drei Gleichungen, die nach dem ersten von mir vorgeschlagenen Umformungsschritt da stehen.

25.03.2006, 13:32

L.i.t.t.l.e.

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Nach dem 1. Schritt:
$\begin{eqnarray*} 3r + s + at = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + 2t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-12) - (4a+1)t=0 \end{eqnarray*}$

Nach dem 2. Schritt:
$\begin{eqnarray*} 3r + s + at = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + 2t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (23-6a)t =0 \end{eqnarray*}$

Sorry,
ich hatte deine 2 Schritte direkt auf das Ausgans LGS angewendet. So müsste es stimmen, oder?

Heißt das nun, dass für a=23/6 die Vektoren linear unabhängig und für alle anderen a linear abhängig sind?

25.03.2006, 13:36

Leopold

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Das kommt mir irgendwie spanisch vor. Immer einen Schritt nach dem anderen. Nach der ersten Umformung erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \text{(I')} \ \ 3r + s + at = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{(II')} \ \ r +2t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{(III')} \ \ (a-12)r + (1-4a)t = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt der zweite Schritt. Siehst du, warum?

EDIT
Ich sehe gerade, daß du dein System noch einmal editiert hast. Die dritte Gleichung stimmt nicht ganz. Kleiner Rechenfehler.

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25.03.2006, 13:41

L.i.t.t.l.e.

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Jetzt stimmts, oder?

25.03.2006, 13:42

Leopold

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Nein. Es stimmt nicht. Nach der ersten Umformung sieht es so aus, wie von mir angegeben.

EDIT
Aber bitte nicht wieder editieren. Das versteht man irgendwann nicht mehr bei den dauernden Rückblenden. Kopiere die Gleichungen und verbessere sie in einem neuen Beitrag.

25.03.2006, 13:51

L.i.t.t.l.e.

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Nach dem 1. Schritt:
$\begin{eqnarray*} 3r + s + at = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + 2t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-12) + (1-4a)t=0 \end{eqnarray*}$

Nach dem 2. Schritt:
$\begin{eqnarray*} 3r + s + at = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + 2t = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (25-6a)t =0 \end{eqnarray*}$

Stimmts jetzt?
Ich glaube ich hab nach dem 1. Schritt beim Koeffizienten von t ein Vorzeichen falsch ausgeklammert.

25.03.2006, 13:55

Leopold

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Jetzt paßt's.

Und wenn jetzt $\begin{eqnarray*} a \neq \frac{25}{6} \end{eqnarray*}$ ist, kann man das System von unten nach oben auflösen und erhält: $\begin{eqnarray*} r=s=t=0 \end{eqnarray*}$ (beim Auflösen der dritten Gleichung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dividiert man ja nicht durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ). Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren für diese $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ also linear unabhängig.

Und wie argumentiert man nun für den verbleibenden Fall $\begin{eqnarray*} a = \frac{25}{6} \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2006, 13:59

L.i.t.t.l.e.

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Für den Fall das a= 25/6 ist, muss t für die letzte Gleichung nicht 0 sein (aber was wenn es doch 0 ist??? wer oder was verbietet das dem t?). Folglich ist das LGS linear abhängig, da r, s und t nicht 0 sind.

25.03.2006, 14:02

Leopold

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Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
aber was wenn es doch 0 ist???

Das stört nicht. Hauptsache, es muß nicht so sein. Es reicht, daß eine nichttriviale Lösung existiert (die triviale Lösung gibt es bei diesem Problem sowieso immer). Entscheidend ist, daß es nicht nur die triviale Lösung gibt.

25.03.2006, 14:10

L.i.t.t.l.e.

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Möchte es noch einmal zusammenfassen. Wenn drei Vektoren linear unabhängig sind, bedeutet es dass r=s=t=0 sind.
Sind sie linear abhängig, sind r=s=t nicht unbedingt 0. Dann muss man das LGS wie gewohnt auflösen, bis man eine Gleichung wie (3-a)s=0 hat. Daraus folgt dann, dass a 3 sein muss wenn die Vektoren linear abhängig sind, damit die Gleichung aufgeht.

Jetzt hab ich noch 3 Vektoren. Umgewandelt ins LGS:

$\begin{eqnarray*} a²s = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ar + s = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + t = 0 \end{eqnarray*}$

Heißt das nun, dass a=0 sein muss, damit die Vektoren linear abhängig sind? Ist der eine Vektor dann ein Nullvektor?

25.03.2006, 14:13

Leopold

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Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
Möchte es noch einmal zusammenfassen. Wenn drei Vektoren linear unabhängig sind, bedeutet es dass r=s=t=0 sind.

Bei diesem Problem kommt es auf jedes Wort an. Was du hier schreibst, ist mir nicht klar genug formuliert. Auch die folgenden Ausführungen sind mehrdeutig.

25.03.2006, 14:16

L.i.t.t.l.e.

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Sind 3 Vektoren a, b und c linear unabhängig, dann hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} r * \vec{a} + s * \vec{b} + t * \vec{c} =0 \end{eqnarray*}$

nur eine Lösung mit r=s=t=o.

So besser formuliert?

25.03.2006, 14:21

Leopold

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So stimmt es. Ich fasse noch einmal zusammen

$\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \ \ \mbox{linear unabhängig} \ \ \Leftrightarrow \ \ r \vec{a} +s \vec{b} + t \vec{c} = \vec{o} \ \ \mbox{nur für die Skalare} \ r=s=t=0 \ \mbox{erfüllt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \ \ \mbox{linear abhängig} \ \ \Leftrightarrow \ \ r \vec{a} +s \vec{b} + t \vec{c} = \vec{o} \ \ \mbox{nicht nur für die Skalare} \ r=s=t=0 \ \mbox{erfüllt} \end{eqnarray*}$

Entscheidend ist das Wörtchen nur (bzw. nicht nur). Ohne dieses wird die Definition völlig entstellt und hat mit linearer (Un-)Abhängigkeit nichts mehr zu tun.

Vergleiche:

Berlin liegt an der Spree.
Nur Berlin liegt an der Spree.
Berlin liegt nur an der Spree.

25.03.2006, 14:27

L.i.t.t.l.e.

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Ok, das klingt einleuchtend.

$\begin{eqnarray*} a²s = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ar + s = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + t = 0 \end{eqnarray*}$

Sind diese Vektoren nun linear abhängig, für
a=0;-s/r
?

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