LGS, Lösungsraum und Basis

25.03.2006, 12:14

MatheDanny

LGS, Lösungsraum und Basis

Hi... ich habe da noch ne Aufgabe, wo ich einige Unklarheiten habe. Am besten schreibe ich mal hin was ich schon habe.

Gegeben sei die Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Aufgaben sind nun folgende:

a) Bestimmen die eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb L_{A,0} \end{eqnarray*}$

b) Für welche $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb L_{A,b} \neq \{ \} \end{eqnarray*}$

c) Bestimmen sie alle Lösungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb L_{A,(4,3,11)} \end{eqnarray*}$

Okay... und nun mal das, was ich habe bisher:

a) Ich habe die Matrix umgeformt und habe nun folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit bekomme ich dann heraus:
$\begin{eqnarray*} x_2 = -x_3-x_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = -x_3-x_4-x_5 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{ \begin{pmatrix} -x_3-x_4-x_5 \\ -x_3-x_4 \\ x_3 \end{pmatrix}| x_3,x_4,x_5 \in \mathbb R \}\\ = x_3\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_5 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bilden diese einzelnen Vektoren nun eine Basis? Und stimmt das überhaupt so?

b) Wieder Gauss umgeformt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & b_1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & | & b_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & b_3-2b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nehme ich jetzt richtig an dass der Lösungsraum $\begin{eqnarray*} \neq \{ \} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} b_3-2b_2 = 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Aber hier hänge ich dann leider.

c) Wieder mit Gauss umgeformt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & | & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} x_2 = 3-x_3-x_4\\x_1 = 4-x_3-x_4-x_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{\begin{pmatrix} 4-x_3-x_4-x_5 \\ 3-x_3-x_4 \\ 0+x_3 \end{pmatrix}| x_3,x_4,x_5 \in \mathbb R \}\\ = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_5\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sonst weiß ich hier leider auch nicht weiter.

Okay.. das war ein bisschen viel,aber hoffentlich kann mir wer helfen.

25.03.2006, 15:00

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Bilden diese einzelnen Vektoren nun eine Basis? Und stimmt das überhaupt so?

Kannst Du eine 3x5 Matrix mit nem 3 Zeiligen Vektor multiplizieren?
Deine Ergebnisvektoren sollten 5 Zeilig sein.

zu b)

Zitat:

Nehme ich jetzt richtig an dass der Lösungsraum wenn ist?

Ja das ist korrekt, sofern Deine Umformungen richtig sind.

25.03.2006, 15:13

MatheDanny

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke... das ist mir gerade selber aufgefallen, als ich mit einem Bekannten nochmal geredet habe... ich versuche das mal eben zu berichtigen. Ich glaube ich hab's nun...

25.03.2006, 15:28

MatheDanny

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.. hier ist meine Korrektur. Ich hoffe so passt es:

a)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = -x_3-x_4-x_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = -x_3-x_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_5 = t \end{eqnarray*}$

Somit ist der Lösungsraum

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{ \begin{pmatrix} -r-s-t \\ -r-s \\ r \\ s\\ t \end{pmatrix} | r,s,t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Folglich

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{ r\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}| r,s,t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Die Basis bilden also die Vektoren
$\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schonmal richtig?

25.03.2006, 15:30

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Lösungsraum ist 3 Dimensional. Du hast 3 Basisvektoren, schonmal richtig. Und da bei $\begin{eqnarray*} Av_i \end{eqnarray*}$ auch noch 0 raus kommt ist's richtig Freude

Alles unter der Vorrausetzung das Du bei Gauß keinen Fehler gemacht hast.

25.03.2006, 15:32

MatheDanny

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nach diesem Verfahren vorgehe... bilden die Vektoren am ende immer dann direkt die Basis des Lösungsraums?

Also ich sehe ja z.b. auch direkt den Rang speziell jetzt bei dieser Matrix, welche 3 ist. und 3 Basisvektoren habe ich ja auch smile

25.03.2006, 15:40

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also ich sehe ja z.b. auch direkt den Rang speziell jetzt bei dieser Matrix, welche 3 ist. und 3 Basisvektoren habe ich ja auch

Die Matrix hat den Rang 2. Die Dimension des Lösungsraumes ist Anzahl der Spalten minus Rang(A).

Zitat:

Wenn ich nach diesem Verfahren vorgehe... bilden die Vektoren am ende immer dann direkt die Basis des Lösungsraums?

Sofern Du keinen vergisst ja.

25.03.2006, 15:43

MatheDanny

Auf diesen Beitrag antworten »

Und direkt noch die Ergänzung zu c)

Nach Gauss habe ich für die Matrix heraus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & | & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} x_1 = 4-x_3-x_4-x_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 3-x_3-x_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_5 = t \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{ \begin{pmatrix} 4-r-s-t \\ 3-r-s \\ r \\ s\\ t \end{pmatrix} | r,s,t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Folglich

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}| r,s,t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Also kann man sehen, dass des quasi der gleiche Lösungsraum ist wie beim homogenen LGS nur mit einem Konstanten Vektor davor.

So alles richtig oder hat noch jemand nen Verbesserungsvorschlag oder Fehler entdeckt?

25.03.2006, 15:45

MatheDanny

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze

Die Matrix hat den Rang 2. Die Dimension des Lösungsraumes ist Anzahl der Spalten minus Rang(A).

Stimmt... Danke. Die 3. Spalte kann ich ja durch die erste und zweite ausdrücken. hatte ich übersehen.

25.03.2006, 15:47

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also kann man sehen, dass des quasi der gleiche Lösungsraum ist wie beim homogenen LGS nur mit einem Konstanten Vektor davor.

Der Lösungsraum wurde verschoben. Übrigens hättest Du dir die rechnerei sparen können da Du Aufgabe a) schon gemacht hast es gilt nämlich:

Die Lösung des inhomogenen Systems Ax = b lässt sich aus der allgemeinen Lösung des homogenen Systems Ax = 0 und einer speziellen Lösung des inhomognenen System Ax = b konstruieren. Und das ist genau das was Du da gemacht hast.

Zitat:

So alles richtig oder hat noch jemand nen Verbesserungsvorschlag oder Fehler entdeckt?

Wieder unter dem Vorbehalt das Du eventuel Rechenfehler gemacht hast, ja alles richtig.

25.03.2006, 15:58

MatheDanny

Auf diesen Beitrag antworten »

Suuper vielen dank...!

Neue Frage »

Antworten »

LGS, Lösungsraum und Basis

Verwandte Themen