Gesetzmäßigkeit bei Addition von Quadratzahlen

25.03.2006, 12:33

Bacira

Gesetzmäßigkeit bei Addition von Quadratzahlen

Hallo an alle.

Ich hab vor kurzen gehört, dass es eine Gesetztmäßigkeit bei der Addition (zweier) aufeinanderfolgenden Zahlen zum Quadrat geben soll:
Also (n-1)²+n²=x wobei x ungerade sein soll. Soweit ist das ja ok, aber gibt es bei der Folge von x eine bekannte Gesetzmäßigkeit?

Das einzige, das mir nach einigem rumrechen aufegefallen ist, ist:

Man betrachte folgende Rechnung, und dabei genauer das Ergebnis:

0²+1²=1
1²+2²=5
2²+3²=13
3²+4²=25
4²+5²=41
...

Folgendes fiel mir auf: Die Ergebnisse sind wirklich immer ungerade(meine Vermutung: das bleibt auch so).
Des weiteren gibt es ein Zusammenhang zwischen den Ergebnissen, also zwischen z.B. 1 und 5; 5 und 13;...

1+4= 1+1*4 = 5

5+8= 5+2*4 = 13

13+12= 13+3*4 = 25

25+16= 25+4*4 = 41

Vermutung : Auch dies wird sich fortsetzen.
Zusammenfassung:

(n-1)²+n²=2n²-2n+1 <--- Das ist ja langweilig.

Es kann auch sein, dass es sich bei den gesuchten Gesetz um mehrere Summanden handelt. Ich habe nur den Fall mit zwei nachgerechnet.
Kennt ihr da vielleicht eine andere Gesetzmäßigkeit, die dieser Ähnlich ist?

Falls nicht, feure ichmich auch über andere Gesetzmäßigkeiten, wie

$\begin{eqnarray*} 1^{2} +2^{2} +...+n^{2} =\frac{(2n+1)n(n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Danke im Vorraus,
Liebe Grüße, Bacci.

25.03.2006, 13:13

therisen

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Hallo Bacira,

zu 1) Das ist trivial! Es ist $\begin{eqnarray*} x=(n-1)^2+n^2=2(n^2-n)+1 \equiv 1 \pmod 2 \end{eqnarray*}$ , also insbesondere ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer ungerade!

zu 2) Zunächst muss man das präziser formulieren. Du behauptest, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} x_{n-1}+4k=x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das ist leicht zu verifizieren: $\begin{eqnarray*} 2(n-1)^2-2(n-1)+1+4k=2n^2-2n+1 \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} k=n-1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

25.03.2006, 13:22

Bacira

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Vielen lieben Dank für die Verifizierung der Beweise Mit Zunge

Aber diese Gesetzmäßig keit ist doch, wie du sagst trivial. Ich haknn mir nicht vrostellen, dass wirklich das damit gemeint war, aber trotzdem Danke

Liebe Grüße Bacci.

25.03.2006, 13:28

therisen

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Zitat:

Original von Bacira
Vielen lieben Dank für die Ergebnisse Mit Zunge

Bitte

Zitat:

Aber diese Gesetzmäßig keit ist doch, wie du sagst trivial. Ich haknn mir nicht vrostellen, dass wirklich das damit gemeint war, aber trotzdem Danke

Ähm, ich habe nur ausgeführt und präzisiert, was DU geschrieben hast. Wenn das nicht gemeint war, was denn sonst? Etwas anderes steht nicht da! Du musst dich schon klarer ausdrücken...

Gruß, therisen

25.03.2006, 13:37

Bacira

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Hat sich gerader erledigt!

25.03.2006, 13:41

therisen

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Hallo Bacira,

das ist eine Gleichung! Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die Folge der von dir konstruierbaren Quadratzahlen, dann ist deine Behauptung, dass $\begin{eqnarray*} x_{n-1}+4k=x_{n} \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun ist $\begin{eqnarray*} x_{n}:=2n^2-2n+1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_{n-1}:=2(n-1)^2-2(n-1)+1 \end{eqnarray*}$

Das muss du jetzt oben einsetzen und dann nach k auflösen.

Gruß, therisen

25.03.2006, 13:45

Bacira

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Ich sag ja: shame on me!!! LOL Hammer

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