kleine Abschätzung

25.03.2006, 16:33

Mazze

kleine Abschätzung

Ich frag mich grad ob folgende Aussage gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \| x,y \in M, \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und M eine Teilmenge des R²

dann soll folgen: Es existiert ein epsilon größer 0 mit

$\begin{eqnarray*} |x+y| < \epsilon \| x,y \in M \end{eqnarray*}$

25.03.2006, 17:40

phi

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Mit einer kleinen Zusatzbedingung würde das gelten. M müsste eine beschränkte Teilmenge des R² sein, sonst könnte z.B. wenn x und y beide unendlich wären, die Differenz endlich oder 0 sein, die Summe aber unbeschränkt.

Dann wäre die Aussage korrekt.

mfg, phi

25.03.2006, 17:50

Mazze

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Jede Teilmenge einer beschränkten Menge ist beschränkt oder?

25.03.2006, 18:02

phi

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Ja schon, aber IR² ist nicht beschränkt, oder ? Und auch eine Teilmenge des IR², z.B. die positive Halbebene (1. & 2. Quadrant) ist (nach oben) unbeschränkt..

25.03.2006, 18:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von phi
M müsste eine beschränkte Teilmenge des R² sein, sonst könnte z.B. wenn x und y beide unendlich wären, die Differenz endlich oder 0 sein, die Summe aber unbeschränkt.

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ können nicht unendlich sein, weil unendlich nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ liegt. Ob nun $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt oder nicht, es gibt immer ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} |x+y|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Das ist doch nur die Unbeschränktheit der reellen Zahlen.

Gruß MSS

25.03.2006, 18:23

phi

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Reden wir vlt. aneinander vorbei, unter |x-y| hab´ ich jetzt den euklidischen Abstand, und unter |x+y| die euklidische Länge der Vektorsumme verstanden:

$\begin{eqnarray*} |x-y| =\sqrt{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x+y| =\sqrt{(x1+y1)^2+(x2+y2)^2} \end{eqnarray*}$

und letzteres kann sehr wohl unendlich werden... d.h. die Länge der Vektoren x und y können unendlich sein.

Aber anscheinend meint ihr was ganz anderes ?

mfg, phi

25.03.2006, 18:25

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ sind doch reelle Zahlen, davon gehe ich jetzt mal aus. Dann ist der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} |x+y|=\sqrt{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2} \end{eqnarray*}$

ja wohl ebenfalls endlich.

Gruß MSS

25.03.2006, 18:37

phi

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Ja, wenn es endliche reelle Zahlen sind, ist |x+y| natürlich auch endlich. Aber IR ist nunmal unbeschränkt, sonst könnte man sich doch die ganze Analysis um das Thema Konvergenz ja sparen, wenn man davon ausgehen könnte das jeder reelle Ausdruck automatisch endlich ist.

Und eine Ebene, z.B. IR² hat doch keine Ränder, wo auf einmal Schluß ist. Jede Ebene ist nach allen Seiten unbeschränkt, da sie diese Eigenschaft von dem Körper der reellen Zahlen erbt.

mfg, phi

25.03.2006, 18:39

20_Cent

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aber es sind feste zahlen, und egal welche zahlen du mir sagst, ich geb dir IMMER ein Epsilon... würde unser Prof sagen *g*
mfG 20

25.03.2006, 18:54

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Man wählt ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ , und nach Dreiecksungleichung folgt für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \|x\| \leq \|x_0\|+\|x-x_0\| \leq \|x_0\|+\delta \end{eqnarray*}$

analog für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Dann nochmal Dreiecksungleichung

$\begin{eqnarray*} \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\| \leq 2(\|x_0\|+\delta) =: \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

fertig. Und das klappt für jeden normierten Raum.

25.03.2006, 18:56

JochenX

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RE: kleine Abschätzung

Zitat:

Original von Mazze
Ich frag mich grad ob folgende Aussage gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \| x,y \in M, \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und M eine Teilmenge des R²

dann soll folgen: Es existiert ein epsilon größer 0 mit

$\begin{eqnarray*} |x+y| < \epsilon \| x,y \in M \end{eqnarray*}$

Die Aussage ist verwirrend gestellt und falsch, so wie ich sie auffasse
sei M der ganze IR^2

Ihr redet alle so, als sollte das nur für feste x,y gelten, aber dann wäre die erste Bedingung Unsinn.

Wenn nur die Bedingung |x-y|< irgendwas positives gegeben ist, dann können z.B. mit x=y x und y beliebig groß gewählt werden.
Und dann sage ich nämlich zu deinem Prof, gib mir ein epsilon und ich nenne dir x und y DANACH.

hier muss ja epsilon x,y-unabhängig sein und das kann es nicht sein.

edit: wieso wählst du x0 fest, Arthur?
wenn du das schon sagst, muss ich einen Denkfehler drin haben, aber ich sehe ihn nicht !?

25.03.2006, 19:02

phi

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Aber sie sind eben nicht als feste Zahlen definiert, sondern als Elemente von IR² , welche die Bedingung erfüllen dass ihre Differenz endlich ist.

Mengentheoretisch ist das ein Analogon zu:

$\begin{eqnarray*} |X \cap Y| < \delta \Rightarrow |X \cup Y| < \epsilon \end{eqnarray*}$

was natülich falsch ist, da die Schnittmenge auch zweier unendlicher Mengen endlich sein kann, und die Vereinigungsmenge nicht.

25.03.2006, 19:04

Mazze

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Jo ich hab hier einen Schreibfehler ganz im ersten Post weswegen sich das hier etwas aufbauscht. Tut mir Leid jungs. Ich hätte schreiben sollen:

$\begin{eqnarray*} (x,y)^T \in M \end{eqnarray*}$

und M Teilmenge des R². Mit x und y sind schlichtweg reelle Zahlen gemeint.

25.03.2006, 19:15

phi

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Halb so schlimm, durch solche Diskussionen wird manches klarer..

Und wie ist |x-y| und |x+y| defininiert ?

25.03.2006, 20:52

Mazze

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Naja wie der Betrag halt definiert ist

$\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

25.03.2006, 21:23

phi

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Okay, (x,y) ist ein Vektor aus einer Teilmenge M von IR², und mit einem endlichen (1-dimensionalen) Betrag der Differenz der Komponenten, besteht die Frage nach einem endlichem Betrag der Summe aus den Komponenten.

Bei der Frage kann man sich auf die Betrachtung in IR beschränken.
Ist im Prinzip aber die gleiche Diskussion wie oben. In Anlehnung an 20 Cent´Bemerkung, kann ich zu jedem (endlichem) x u/o y dass du mir nennst, dir eins nennen das größer ist...

Wenn x und y z.B. durch irgendwelche Grenzwerte definiert sind, und streng genommen (Dedekindsche Schnitte, usw...) ist ja jede reelle Zahl als Grenzwert definiert, dann kann es passieren das |x-y| endlich ist, während |x+y| unendlich ist.

Manche Algebra-Professoren definieren Zahlen sogar als Mengen; damit wird die von mir oben angegebene Analogie zu "Aus endlicher Schnittmenge folgt im Allgem. nicht eine endliche Vereinigungsmenge" sogar zu einem Homomorphismus.

Also wenn deine Aussage allgemeingültig für alle x und y aus M sein soll, müsste M sowohl in der x, als auch in der y-Komponente in positiver und negativer Richtung beschränkt sein.

LOED sei dank, stehe ich nicht ganz und gar mit meiner Sichtweise alleine da. Augenzwinkern

mfg, phi

25.03.2006, 21:33

Mazze

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Würde ich also $\begin{eqnarray*} x,y \in [a,b] \| a,b \in \mathbb{R}, a \leq b \end{eqnarray*}$

annehmen so könnt ich das also benutzen?

25.03.2006, 21:40

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RE: kleine Abschätzung

Zitat:

Original von LOED
edit: wieso wählst du x0 fest, Arthur?
wenn du das schon sagst, muss ich einen Denkfehler drin haben, aber ich sehe ihn nicht !?

So wie ich die Aufgabe verstanden habe, gibt es für $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt. Offenbar gehen hier alle anderen davon aus, dass es anders gemeint ist.

Zuigegebenermaßen war Mazze sehr sehr undeutlich in seinem Eröffnungspostings, symbolmäßig war das regelrecht hingeschmiert. Forum Kloppe

25.03.2006, 21:44

Mazze

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Zitat:

So wie ich die Aufgabe verstanden habe, gibt es für ein , so dass für alle die Ungleichung gilt.

So stands doch auch da, oder? Wie auch immer exakt so wars gemeint.

25.03.2006, 21:45

phi

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Ja genau, wobei es egal ist ob das Intervall offen oder abgeschlossen ist, hauptsache beidseitig beschränkt. smile

25.03.2006, 21:47

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Dann verstehe ich nicht, was Jochen an meinem Beweis auszusetzen hat. Ist doch legitim, irgendein $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ auszuwählen, sofern die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nichtleer ist.

@Mazze

Unter Exaktheit verstehe ich etwas anderes. Um Missverständnissen vorzubeugen, formuliere ich mal vollständig, wie ich die Aufgabe verstanden und dann bewiesen habe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Teilmenge eines normierten Raumes, für die es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt.

Man zeige, dass es dann ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \|x+y\| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

25.03.2006, 22:08

phi

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Und ich habe es so verstanden:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Teilmenge eines normierten Raumes. Für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt.

Man zeige, dass es dann für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \|x+y\| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

@Arthur: kann es so ein delta überhaupt geben, dass |x-y|<delta gilt für alle x,y aus M, wenn M unbeschränkt ist ? Wenn x unendlich ist, und y=0 z.B.

Aus Falschem kann man alles schließen, oder so ähnlich...

mfg, phi

25.03.2006, 22:18

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Zitat:

Original von phi
@Arthur: kann es so ein delta überhaupt geben, dass |x-y|<delta gilt für alle x,y aus M, wenn M unbeschränkt ist ?

Nein, für unbeschränkte M ist diese Bedingung verletzt, richtig.

Zitat:

Original von phi
Für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt.

So formuliert kann man es auch gleich weglassen: Denn es gibt immer so ein $\begin{eqnarray*} \delta=\delta(x,y) \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} \delta:=\|x-y\|+1 \end{eqnarray*}$ . Deswegen kam für mich diese Interpretation auch nicht im entferntesten in Betracht - ist einfach nicht plausibel,, so einen Blödsinn zu fordern.

25.03.2006, 22:33

Mazze

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So als kleine "Begründung" warum ich das wollte. Ich bin grad dabei wieder bissl Ana I zu wiederholen, und ich war grad bei gleichm. stetigkeit. Hab mir da Paar funktionen zusammengebastelt. In etwa

f(x) = x²

Jetzt soll

$\begin{eqnarray*} |x - y| < \delta \end{eqnarray*}$

sein und es ist

$\begin{eqnarray*} |x^2 - y^2| = |(x-y)\cdot(x+y)| = |x-y|\cdot|x+y| \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt hätte das aus $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$ folgt das es ein $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ > 0 gibt so das

$\begin{eqnarray*} |x+y| < \delta_0 \end{eqnarray*}$

könnt ich einfach sagen

$\begin{eqnarray*} |x^2 - y^2| = |(x-y)\cdot(x+y)| = |x-y|\cdot|x+y| < \delta \cdot|x+y| < \delta \cdot \delta_0 = \epsilon \end{eqnarray*}$

25.03.2006, 22:43

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Riecht so ein wenig nach gleichmäßiger Stetigkeit - aber verwechselst du da nicht ein wenig die Kausalität? Da geht man eigentlich von $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ aus und versucht so ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ zu finden, nicht umgekehrt.

25.03.2006, 22:59

phi

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Zitat:

Original von Mazze
Ich hätte schreiben sollen:

$\begin{eqnarray*} (x,y)^T \in M \end{eqnarray*}$

und M Teilmenge des R². Mit x und y sind schlichtweg reelle Zahlen gemeint.

Den Vektorbegriff muss man im Zusammenhang mit Stetigkeit ganz vergessen.
x und y sind Elemente aus IR und nicht IR². Das y in der Definition von gl. Stetigkeit ist nicht f(x), hat also mit der y-Achs nicht´s zu tun.

Noch ein Argument, dann geb ich Ruh´

"kann es so ein delta überhaupt geben, dass |x-y|<delta gilt für alle x,y aus M, wenn M unbeschränkt ist ?

Nein, für unbeschränkte M ist diese Bedingung verletzt, richtig."

Das ist doch gleichberechtigt mit der Aussage, das es eben nicht immer so ein Delta gibt, da x und y durchaus unendlich weit auseinander liegen können. Und auf einer unbeschränkten Ebene zu verlangen das der Abstand endlich sein soll, könnte doch sinnvoll sein.

Aber da es sowieso an der Aufgabe vorbeigeht, ist es auch egal.

mfg, phi

25.03.2006, 23:03

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Na, in einem sind wir uns wohl einig: Dass man eine breite langwierige Diskussion entfachen kann, wenn man nur sein Problem hinreichend unklar formuliert... Big Laugh

25.03.2006, 23:09

phi

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Ja, das stimmt ...und in philosophische Grübeleien wie "ist Unendlich noch eine reelle Zahl, oder sind wir schon im hyperreellen?" oder "ist die Erde wirklich eine Simulation von dem kleinen Kerl da im Laufrad, der mich grade in ein multidimensionales Fettnäpfchen gelockt hat....?" Big Laugh

Auf jeden Fall erstmal Gute Nacht allerseits, bis morgen Schläfer

25.03.2006, 23:45

JochenX

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Ganz nebenbei, ich habe das so verstanden:
Sei $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ , kann man nun folgern:
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0: |x-y|<\delta => |x+y|<\epsilon \end{eqnarray*}$
also was ganz anderes als ihr und dann ist es einfach falsch.

Und das hat dann mit deinem Beweis auch gar nix mehr zu tun, Arthur, verzeih mir die Kritik, wenn ich denn kritisiert hben sollte.

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