Vektorräume (Beweisaufgaben)

25.03.2006, 20:10

ebbelwoi

Vektorräume (Beweisaufgaben)

Hallo zusammen,
ich "darf" mich noch bis nächsten Freitag mit LA rumärgern und habe da gerade eine Klausuraufgabe (werden wohl noch mehr) bei der ich mal wissen möchte, ob man da so argumentieren kann.

Aufgabe:
Sei K ein Körper und V ein dreidimensionaler K(örper)-VR. Zeige:

a) Zu je zwei verschiedenen eindimensionalen U-VR von V existiert genau ein zweidimensionaler U-VR, der beide enthält.

b) Zu je zwei verschiedenen zweidimensionalen Untervektorräumen existiert genau ein eindimensionaler Untervektorraum, der in beiden enthalten ist.

zur a) habe ich folgendes anzubieten:

zeige Existenz:
seien U1 und U2 solch verschiedene eindimensionale U-VR von V, des Weiteren sei u1 aus U1 und u2 aus U2
dann hat lin(u1,u2) die Dimension 2 und ist gesuchter U-VR U.

zeige Eindeutigkeit durch Widerspruch:
seien U, U' verschiedene 2-dim Untervektorräume
sei u1,u1' aus U1 und u2,u2' aus U2 (s.o.)
und seien u1,u2 aus U und u1',u2' aus U'

also sind die linearen Hüllen:
$\begin{eqnarray*} lin(U) = \{\lambda u_1 + \mu u_2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lin(U') = \{\lambda' u_{1}' + \mu' u_2'\} \end{eqnarray*}$

somit existiert ein
$\begin{eqnarray*} \lambda u_1 + \mu u_2 \not\in U' \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} u_1' \in U_1 und u_2' \in U_2 \end{eqnarray*}$
folgt aufgrund deren 1-dimensionalität:
$\begin{eqnarray*} \alpha u_1 = u_1' und \beta u_2 = u_2' \end{eqnarray*}$
und liegen somit in U als auch in U'
$\begin{eqnarray*} \mapsto U = U' \end{eqnarray*}$
Dies ist ein Widerspruch zur anfänglichen Annahme, dass
$\begin{eqnarray*} U \not = U' \end{eqnarray*}$

Also gibt es genau einen 2 dimensionalen Unterraum, der beide 1-dimensionalen enthält.

25.03.2006, 23:00

Abakus

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RE: Vektorräume (Beweisaufgaben)
Im Prinzip kannst du so argumentieren. Bei kritischer Durchsicht fällt mir allerdings noch einiges dazu ein:

Zitat:

Original von ebbelwoi
zur a) habe ich folgendes anzubieten:

zeige Existenz:
seien U1 und U2 solch verschiedene eindimensionale U-VR von V, des Weiteren sei u1 aus U1 und u2 aus U2
dann hat lin(u1,u2) die Dimension 2 und ist gesuchter U-VR U.

Solange du nicht forderst, dass deine gewählten Vektoren verschieden vom Nullvektor sind, ist das falsch. Ferner musst du schon begründen, wieso $\begin{eqnarray*} lin(u_1, u_2) \end{eqnarray*}$ beide Vektorräume enthält. Zeigen tust du hier nur die Existenz mindestens eines solchen VR, kannst also nicht bereits behaupten, dass $\begin{eqnarray*} lin(u_1, u_2) \end{eqnarray*}$ der gesuchte Raum ist.

Zitat:

zeige Eindeutigkeit durch Widerspruch:
seien U, U' verschiedene 2-dim Untervektorräume
sei u1,u1' aus U1 und u2,u2' aus U2 (s.o.)
und seien u1,u2 aus U und u1',u2' aus U'

Auch hier dürfen die Vektoren nicht der Nullvektor und zusätzlich nicht kollinear sein. Die beiden UR sollen $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ enthalten, was du schon explizit fordern musst.

Zitat:

also sind die linearen Hüllen:
$\begin{eqnarray*} lin(U) = \{\lambda u_1 + \mu u_2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lin(U') = \{\lambda' u_{1}' + \mu' u_2'\} \end{eqnarray*}$

Was sind das für Mengen? Du musst schon schreiben: $\begin{eqnarray*} lin(U) = \{\lambda u_1 + \mu u_2 :~ \lambda, \mu \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ . Natürlich ist auch lin(U) = U, wobei mir unklar ist, wieso du es so schreibst.

Zitat:

somit existiert ein
$\begin{eqnarray*} \lambda u_1 + \mu u_2 \not\in U' \end{eqnarray*}$

Du meinst, dass Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ existieren. Im folgenden verwendest du dies jedoch nicht. Dass beide Räume verschieden sein sollen, hast du ganz am Anfang schon vorausgesetzt.

Zitat:

da aber $\begin{eqnarray*} u_1' \in U_1 und u_2' \in U_2 \end{eqnarray*}$
folgt aufgrund deren 1-dimensionalität:
$\begin{eqnarray*} \alpha u_1 = u_1' und \beta u_2 = u_2' \end{eqnarray*}$
und liegen somit in U als auch in U'
$\begin{eqnarray*} \mapsto U = U' \end{eqnarray*}$

Kann ich so nachvollziehen, wenngleich da ein Folgepfeil hin sollte, ok.

Insgesamt war ich jetzt ganz schön pingelig, aber es ist nicht ganz unwichtig, eine richtige Idee technisch korrekt aufzuschreiben.

Ich selbst würde hier mit der direkten Summe argumentieren:

Sei $\begin{eqnarray*} W := U_1 \oplus U_2 := \{u + v : u \in U_1, v \in U_2\} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:

1. $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ sind in W enthalten.
2. W ist ein Unterraum.
3. W ist der kleinste UR, der $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ enthält.
4. Daher ist W eindeutig bestimmt.

Grüße Abakus smile

26.03.2006, 08:54

ebbelwoi

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Wie gesagt, deswegen frag ich ja!
Weil ich hab da immer so meine Probleme in den Klausuren - wie schreibt man was richtig auf (Kommentar vom Korrektor meistens "Im Prinzip richtig, könnte aber sauberer aufgeschrieben sein" > 50% der Punkte weg)

DANKE!!!

Mal gucken ob ich auch noch zur b) was habe...

26.03.2006, 11:35

ebbelwoi

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zur Aufgabe b)
Bei der Aufgabe b) hab ich bei der Eindeutigkeit meine Schwierigkeiten, aber die Existenz müsste ja so aussehen:
- verschieden setzt vorraus: nicht kollinear
- es muss mindestens so ein eindimensionaler Raum existieren, da K3 von 3 linear unabh. Vektoren schon vollends aufgespannt wird. der 4. muss also eine Linearkombination aus den anderen drei sein
-somit existiert ein Vektor u der in beiden Räumen liegt (wäre im R3 die Schnittgerade) und den U-VR U aufspannt, der 1-diimensional ist.
Da die gegebenen 2-dim Unterräume per definitionem den 0-Vektor enthalten müssen, gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ und des weiteren mit $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U; \lambda \mu \in K \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lambda u_1 + \mu u_2 \in U \end{eqnarray*}$
Beweis-Ende Existenz

Kann mir jemand sagen, wie ob die Existenz so in Ordnung ist, und wie man die Eindeutigkeit macht? (vielen Dank Abakus für die Hilfe bei der a), hab da jetzt für die b) ja ein paar Definitionssachen berücksichtigt)

26.03.2006, 13:51

Abakus

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RE: zur Aufgabe b)

Zitat:

- verschieden setzt vorraus: nicht kollinear
- es muss mindestens so ein eindimensionaler Raum existieren, da K3 von 3 linear unabh. Vektoren schon vollends aufgespannt wird. der 4. muss also eine Linearkombination aus den anderen drei sein

Im Prinzip richtig. Nur musst du schon genau angeben, was hier verschieden bzw. nicht kollinear ist. Und dass so ein UR existiert, soll gerade gezeigt werden.

Ich würde in folgenden Schritten argumentieren:

Seien $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ die beiden verschiedenen, 2-dimensionalen UR. Nun überlege dir folgende Schritte:

1. $\begin{eqnarray*} U := U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$

2. Zeige: U ist ein UR.

3. Zeige: U ist der (inklusions-)größte UR, der $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ enthält und ist mit dieser Eigenschaft eindeutig bestimmt.

4. Zeige: U hat die Dimension 1. (Zb mit dem Basisergänzungssatz).

Grüße Abakus smile

26.03.2006, 18:42

Ace Piet

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RE: Vektorräume (Beweisaufgaben)
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein K-VR mit $\begin{eqnarray*} \dim V = 3 \end{eqnarray*}$ .

Vorarbeit:
Für eine beliebige Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} D:= \bigcap_{M \subseteq U \subseteq V } \{U \mid U \text{ VR} \} \end{eqnarray*}$ ein UVR von V,

weil: Für jedes dieser U ist $\begin{eqnarray*} \{0\} \subseteq U \subseteq V \end{eqnarray*}$ , ergo D wohldefiniert, abgeschlossen bzgl. den VR-Verknüpfungen (da in jedem dieser U) und die VR-Axiome bleiben auf Einschränkungen (von V) gültig. Damit gilt auch $\begin{eqnarray*} M \subseteq D \subseteq V \end{eqnarray*}$ und per Konstruktion ist D kleinster M umfassender UVR von V, denn gäbe es einen kleineren, würde er als U in diesem Durchschnitt auftauchen.

Wenn $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \subseteq V \end{eqnarray*}$ je UVR sind, definiere:
(a) $\begin{eqnarray*} M := U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} M := U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$
Für die entspr. D braucht man nur noch die Dimensionsaussagen zeigen...

Klar ist im Fall (a), daß $\begin{eqnarray*} 1 \leq \dim D \leq 2 \end{eqnarray*}$ und wg. $\begin{eqnarray*} U_1 \neq U_2 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \setminus U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \in U_2 \setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und diese sind lin. unabhängig, damit $\begin{eqnarray*} \dim D = 2 \end{eqnarray*}$ .

Analog ist im Fall (b) $\begin{eqnarray*} 1 \leq \dim D \leq 2 = \min (\dim U_1, \dim U_2) \end{eqnarray*}$ . - Nehme an $\begin{eqnarray*} =& 2 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} D = \mathfrak{L}(u,v) \end{eqnarray*}$ mit lin. unabhängigen $\begin{eqnarray*} u,v \in M = D \end{eqnarray*}$ , so wären diese je $\begin{eqnarray*} \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \in U_2 \end{eqnarray*}$ , sprich $\begin{eqnarray*} D= U_1 = U_2 \end{eqnarray*}$ (Widerspruch) - Damit $\begin{eqnarray*} \dim D = 1 \end{eqnarray*}$ .

Wink

(nur ne Idee)

26.03.2006, 19:59

ebbelwoi

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Puuuh, ganz schön viele Zeichen, ich weiß leider nicht, (hängt an den Symbolen), was D nun genau für eine Menge sein soll...
sonst siehts gut aus, danke schonmal

26.03.2006, 22:23

Ace Piet

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> was D nun genau für eine Menge sein soll...

Ich habe den Buchstaben D wg. der Konstruktion (Durchschnitt) gewählt.

Im Fall (b) ist $\begin{eqnarray*} D = M = U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ , weil (beliebige) Durchschnitte von UVR wieder UVRs sind, kleiner geht es also mit dieser Trägermenge M nicht. - Für Vereinigungen gilt dieses i.a. nicht!

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{L}(M) \end{eqnarray*}$ bezeichnet die lin.Hülle einer Trägermenge M, sprich: allen Lin.Kombis, die man aus Elementen aus M bilden kann. Und allgemein ist $\begin{eqnarray*} D_M = \mathfrak{L}(M) \end{eqnarray*}$ , nur sieht man der lin.Hülle (ggfs.) nicht ihre Minimalität an, D aber wohl.

Viel Glück für die Klausur! Wink

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