Determinante berechnen |
| 26.03.2006, 11:42 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Determinante berechnen Also ich sollte die Determinante von Folgender Matrix bestimmen: Mit dem Delta ist denke ich mal das Kroneker-Delta gemeint, d.h. es ist 1, wenn i=j ist und 0, wenn i != j ist. Des würde also eine Matrix ergeben, die auf der Diagonalen nur 0en, und sonst überall nur 1en hat. Ich kann diese Matrix nun z.b. immer so umformen, dass nur 1en auf den DIagonalen stehen, aber je mehr Zeilen und Spalten die Matrix schließlich hat, desto mehr ändert sich doch auch die Determinante, oder nicht? Einer mal nen Tip? Danke... MatheDanny |
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| 26.03.2006, 12:18 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du´s aber so umformst (wenn es so geht) ändert sich die Determinante! Lasse sie lieber unverändert und betrachte ein paar Beispiele bei denen du die Determinante ausrechnest. Dann dürfte dir ein Muster auffallen. mfg, phi |
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| 26.03.2006, 12:27 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm... also die ersten beispiele wären natürlich die Matrizen 1x1 2x2 3x3 Aber da erkenne ich momentan noch kein Muster. Da krieg ich für die Determinanten raus 0 (1x1), -1 (2x2), 2 (3x3) |
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| 26.03.2006, 12:38 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht brauchst du noch zwei mehr... Was sollst: Die Determinante einer solchen nxn-Matrix ist . Das musst du natürlich noch beweisen, am besten durch vollständige Induktion. |
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| 26.03.2006, 12:42 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den 4x4 noch, und´s Muster wird sichtbar... 
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| 26.03.2006, 13:06 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt die Determinante wird immer um 1. größer, wenn die Matrix eine Zeile und Spalte mehr kriegt, mit wechselndem vorzeichen. Bleibt da also nur der Beweis durch Induktion? |
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| 26.03.2006, 13:14 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Yep, also für n=1 ist (-1)^0 (1-1)=0... IA stimmt, ... |
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| 26.03.2006, 13:43 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Argh.. ich und meine Induktionskünste... IV: Beh. gelte für bel. aber festes n IS: Ich weiß dass ich auf die Form kommen muss. |
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| 26.03.2006, 13:53 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du das weißt, dann bist du doch irgendwie schon draufgekommen. Wie bist du drauf gekommen? Bei Induktion gibt´s immer zwei Wege die zur gleichen Gleichung für n+1 führen müssen. a) Der eine Weg geht über das einfache Weiterzählen,mit Einsetzen der Induktionsbehauptung für n. b) Und der andere Weg geht direkt über die Induktionsbehauptung für n+1. Wenn es in diesem Beispiel nicht so einfach wäre würde ich den Anfang machen... Edit, verbessert |
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| 26.03.2006, 14:13 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wie ich drauf gekommen bin... das ist bei Induktion ja immer gleich. Als Ergebnis brauche ich die Ursprungsgleichung, also und ersetze hier jedes n durch n+1.. Instinktiv hätte ich jetzt erstmal gesagt Edit: Ne... kann auch irgendwie nid sein... das Brett ist wieder da. |
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| 26.03.2006, 14:16 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
??? |
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| 26.03.2006, 14:18 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja dass ich jedes n durch n+1 ersetze und das dann das Ergebnis ist. Sofern man denn n benutzt und nicht irgend eine andere Variable. |
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| 26.03.2006, 14:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Induktionsschritt einen Hinweis: Subtrahiere von der ersten Zeile die zweite Zeile, und anschließend von der ersten Spalte die zweite Spalte - beide Operationen verändern die Determinante der Matrix nicht. Anschließend nutzt du zweimal den Laplaceschen Entwicklungssatz und erhältst eine schön einfache Rekursionsgleichung. |
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| 26.03.2006, 14:22 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, du bist also über den Weg b) zu der Aussage gekommen. Das musst du jetzt noch sauber hinschreiben : Zu zeigen ist . Und jetzt zeigst du dass über Weg a), indem du die Aussage "Das heißt die Determinante wird immer um 1. größer, wenn die Matrix eine Zeile und Spalte mehr kriegt, mit wechselndem vorzeichen." ...mathematisch ausführst. Edit: Durch Arthur´s Beitrag ist mir grade klar geworden, dass meine Idee ja nur der Induktionsbeweis einer Zahlenolge ist, und nicht die Aussage die sich auf die Determinantenfolge bezieht. |
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| 26.03.2006, 14:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na irgendwie braucht man ja eine begründete Rekursionsgleichung für diese Zahlenfolge der Determinanten. Oder man macht's direkt ohne Rekursion und Induktion, aber da sehe ich nicht, wie das gehen soll. |
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| 26.03.2006, 15:02 | MatheDanny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay.. ich danke euch auf jeden fall schonmal. Ich guck mir des dann bei Gelegenheit nochmal Näher an.. nur heute hab ich noch nen paar andere aufgaben vor mir. Dachte des wäre nen bissle leichter zu erklären. |
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