Umfangswinkelsatz

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Wheasley Auf diesen Beitrag antworten »
Umfangswinkelsatz
Hallo Ihr Lieben,

ich sitze schon recht lange vor folgender Aufgabe - und scheine ein Brett vorm Kopf zu haben.

a) Zeichnen Sie einen Kreis durch A und B, so dass für alle Punkte A auf dem einen Kreisbogen gilt: Der Winkel AXB (Umfangswinkel) ist 60° groß.
Beschreiben Sie genau, wie sie den Mittelpunkt dieses Kreises konstruiert haben. Begründen Sie die Richtigkeit Ihrer Konstruktion.

(Schön, was?) Big Laugh

Das habe ich wie folgt gelöst:

Strecke AB und dann um A durch B einen Kreis K1 und um B durch A einen Kreis.
Dann hat man zwei Schnittpunkte. Mit dem einen habe ich Dann das gleichseitige Dreieck ABX gezeichnet.
Und wie wir wissen, sind alle Winkel im gleichseitigen Dreieck = 60°.
Dann habe ich mit Hilfe der Höhen den Mittelpunkt des Dreiecks ermittelt und um diiesen Mittelpunkt einen Kreis durch ABX gezogen.
Und dieser erfüllt die Anforderungen der Aufgabe.

Aber beweisen kann ich es nicht.
Schon gar nicht mit dem Umfangswinkelsatz.


Und das ist auch das Problem bei Aufgabe b):
Zeichnen Sie nun sämtliche Kreise durch A und B, so dass die entsprechendenden Umfangswinkel 40°, 60°, 90°, 120° bzw. 140° groß sind.
Welche Beziehungen gelten zwischen den Mittelpunkten dieser Kreise?


Könnt Ihr mir da weiter helfen?

Vielen Dank!

Wheasley
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umfangswinkelsatz
Also zu a) würd ich sagen, du hast mit deiner Beschreibung deiner Konstruktion schon begründet, dass die Winkel über AB auf dem Kreisbogen 60° sind, da du ja mit deiner Konstruktion bewiesen hast, dass ein Winkel über AB auf dem Kreisbogen 60° ist. Nach dem Peripheriewinkelsatz sind dann alle Winkel über AB auf dem Kreisbogen 60°.
Was meinst du denn mit Umfangwinkelsatz? Was soll denn das sein? Vielleicht kenne ich ihn unter einem anderen Namen, vielleicht Peripheriewinkelsatz. Beschreib ihn am besten mal!
Zu b) habe ich erstmal nur ne Idee für 90°: Einfach Mittelsenkrechte auf AB und dann diesen Punkt als Mittelpunkt nehmen. Kreis um diesen Mittelpunkt durch A und B. Auf der Kreislinie Punkt nehmen, mit A und B verbinden. Nach dem Satz des Thales ist der Peripheriewinkel 90°.

Beziehung zwischen Mittelpunkten dieser Kreise: Alle liegen auf einer Gerade.

Das wär das, was ich jetzt mal aus dem Stehgreif hätte, vielleicht find ich noch ne Lösung für die anderen Winkel von b).
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Peripherie ist Griechisch und heißt Umfang.
Also richtig vermutet:
Satz vom Peripheriewinkel = Satz vom Umfangswinkel = Umfangswinkelsatz
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab im Unterricht immer folgendes gehört:

"Der Punkt liegt auf der Kreisperipherie, also auf der Kreislinie."

Wobei Kreislinie und Umfang nicht unbedingt das gleiche sind, da Umfang eher als algebraischer Begriff bekannt ist. Aber geometrisch ist Umfang die Länge der Kreislinie ist, die Kreislinie aber nicht als Länge definiert ist, sondern als Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Deswegen konnte ich das nicht sofort schlussfolgern!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist aber spitzfindig!
(Leider hast du vollkommen recht. In der Geometrie gibt's da sprachlich schon ein gehöriges Durcheinander. Manche meinen mit "Kreis" die Menge der Kreispunkte auf dem Rand, andere die Fläche im Innern. Manche verstehen unter "Strecke" eine Menge von Punkten, andere eine Länge, also eine Zahl. Und erst bei Winkeln! Ist alpha eine Bezeichnung für die Punkte des Feldes, das von den Schenkeln umschlossen wird? Meint alpha nur die beiden Schenkel? Meint alpha gar die Größe des Winkels? Oder alles ein bißchen und keines richtig? Man kann versuchen, dies alles durch unterschiedliche Bezeichnungen auseinanderzuhalten, aber es wird dann schnell unübersichtlich - und die meisten Schüler kapieren es sowieso nicht! Also lassen wir im Zweifel alles gelten und sagen: Man achte auf den Kontext, dann wird klar, was im konkreten Fall gemeint ist!)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, belassen wirs so wie es is. Augenzwinkern
Wheasley Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe.

Dann kann ich ja a) erstmal nachbessern.

Also die Mittelpunkte liegen alle auf einer Geraden. - Warum?


Übrigens meinte ich den Peripheriewinkel. Wir haben beide Namen dafür genannt bekommen. Aber in der Aufgabenstellung stand halt "Umfangswinkel"....

Die Punkte X sollen alle auf dem Kreisbogen liegen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Punkte A und B sind ja bei jedem deiner Kreise Punkte auf der Kreislinie, d.h. sie haben immer den gleichen Abstand vom Mittelpunkt. Nach der Definition der Mittelsenkrechten hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten auf AB den gleichen Abstand von A und von B. Die Umkehrung davon ist:
Haben mehrere Punkte jeweils den gleichen Abstand zu zwei Punkten A und B, so liegen die Punkte auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.
Da auch die Kreismittelpunkte immer den gleichen Abstand von A und B haben, müssen sie auf der Mittelsenkrechten liegen, also alle auf einer Geraden! Dies geht aus der Umkehrung der Definition der Mittelsenkrechten hervor.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Die Mittelpunkte liegen auf einer Linie warum ???

... Weil alle Kreise ja auch durch A und B laufen sollen, müssen
alle Mittelpunkte auf der Mittelsenkrechten von AB liegen und
das ist doch nur eine Linie ...

.

zu b
Konstruktion für beliebigen Umfangswinkel (<90°)
Lege bei A und B den gewünschten Umfangswinkel an und zwar
beide zur gleichen Seite von AB zeigend, also beide nach unter-
halb oder oberhalb von AB.
Nun errichtest du in Punkt A und B die Senkrechte auf deine
gerade zuvor gezeichneten Schenkel.
Diese schneiden sich im gesuchten Kreismittelpunkt ...


smile
Wheasley Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ihr Lieben!

Vielen Dank für die Hilfe! smile :rolleyes:

Ich hatte einen total bescheuerten Fehler gemacht bei den Zeichnungen zu b)!!! *argh* *sichdiehaarerauf*

Ich habe anstatt der Mittelsenkrechten des Dreiecks die HÖHEN eingezeichnet und mich dann gewundert, warum ich keinen Umkreis durch ABC zeichnen konnte... *ARGH*

(Klar, beim gleichseitigen Dreieck isset egal da ist m = h)

Naja, jedenfalls habe ich jetz eine wunderschöne Zeichnung (BUNT!) Big Laugh und einen netten Text dazu verfasst.

Vielleicht sollte ich mir das Wort "Mittelsenkrechte" in die Netzhaut eintätowieren oder in die Innenseite der Augenlieder... Dabei hab ich's sogar richtig geschrieben, aber falsch gezeichnet. :P


Vielen Dank auf jeden Fall für Eure Hilfe. Wink


Ciao,
Wheasley
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff

zu b
Konstruktion für beliebigen Umfangswinkel (<90°)
Lege bei A und B den gewünschten Umfangswinkel an und zwar
beide zur gleichen Seite von AB zeigend, also beide nach unter-
halb oder oberhalb von AB.
Nun errichtest du in Punkt A und M die Senkrechte auf deine
gerade zuvor gezeichneten Schenkel.
Diese schneiden sich im gesuchten Kreismittelpunkt ...


smile


Welchen Punkt meinst du denn mit M??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Naaa, das war ein Gedankenverhopseler und sollte B heißen ...

Zitat:
Original von Poff

Nun errichtest du in Punkt A und M die Senkrechte auf deine
gerade zuvor gezeichneten Schenkel.

Diese schneiden sich im gesuchten Kreismittelpunkt ...

... ist aber egal, geht auch mit 'A' allein, weiter oben stand ja
schon, dass eine 2. Ortslinie die Mittelsenkrechte ist ...


smile
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