Integral integrieren ....

23.06.2008, 13:58

ZeRoberta

Integral integrieren ....

$\begin{eqnarray*} f (x) = \int_{2}^{0}~(t+2) sin(t^2 + 4t - 6)~dt \end{eqnarray*}$

wie integriere ich das ?

hab es mit substitution probiert, diese aber vermultich falsch gemacht. bzw. ich bin da grad in einer sackgasse....

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{0}~(t+2) sin(u)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = t^2 + 4t - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{du}{dt} = t^2 + 4t - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{t^2+4t-6} = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = (t+2) -cos(u) \cdot \frac{1}{t^2 + 4t - 6}~dt \end{eqnarray*}$ |Stammfunktion zu f(x)

stimmt das so? kann das so richtig sein?

23.06.2008, 14:03

Dual Space

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RE: Integral integrieren ....
Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} t^2+4t-6=(t+2)^2-10 \end{eqnarray*}$ ist.

23.06.2008, 14:39

ZeRoberta

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RE: Integral integrieren ....
okay...

$\begin{eqnarray*} F(x) = (t+2) -cos(t^2 + 4t - 6) \cdot \frac{1}{t^2 + 4t - 6}~dt \end{eqnarray*}$ |Stammfunktion zu f(x)

$\begin{eqnarray*} F(x) = -cos(t^2 + 4t - 6) \cdot \frac{1}{t+2 - 10}~dt \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt 2 und 0 einsetze kommt am ende ein ergebnis raus, das falsch ist. da müsste ein sehr sehr kleine fließkommerzahl rauskommen (laut lösung)

ich komme auf 0.04 (was falsch ist)

Ich vermute mal stark da stimmt was mit einer substitution nicht oder wie ich sie anwende.

23.06.2008, 14:46

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Zitat:

Original von ZeRoberta
$\begin{eqnarray*} u = t^2 + 4t - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{du}{dt} = t^2 + 4t - 6 \end{eqnarray*}$

Das ist doch Bullshit - warum leitest du denn nicht ab? Richtig ist

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{\dd u}{\dd t} = 2t + 4 = 2(t+2) \end{eqnarray*}$ ,

womit dann ein sehr einfaches Integral in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ entsteht.

23.06.2008, 20:33

ZeRoberta

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RE: Integral integrieren ....
$\begin{eqnarray*} f (x) = \int_{2}^{0}~(t+2) sin(t^2 + 4t - 6)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{0}~(t+2) sin(u)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = t^2 + 4t - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{du}{dt} = 2t + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{2t+4} = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{2(t+2)} = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = (t+2) \cdot (-cos(t^2 + 4t - 6)) \cdot \frac{1}{2(t+2)}~dt \end{eqnarray*}$ |Stammfunktion zu f(x)

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{(-cos(t^2 + 4t - 6))}{2}~dt \end{eqnarray*}$

so jetzt richtig?

24.06.2008, 17:32

MisterMagister

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Nein.

1.) Integralgrenzen?! - Wieso steht die 0 eigentlich oben?

2.) Substitution basiert auf der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f(g(b)) - f(g(a)) = \int_a^b ~ g'(t) \cdot f'(g(t)) ~ dt \end{eqnarray*}$

Es gilt aber auch:

$\begin{eqnarray*} f(g(b)) - f(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)} ~ f'(t) ~ dt \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b ~ g'(t) \cdot f'(g(t)) ~ dt = \int_{g(a)}^{g(b)} ~ f'(t) ~ dt \end{eqnarray*}$

Was ist ein deinem Fall $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und was ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und wie geht man jetzt vor?

24.06.2008, 17:36

TyrO

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RE: Integral integrieren ....

Zitat:

Original von ZeRoberta
$\begin{eqnarray*} f (x) = \int_{2}^{0}~(t+2) sin(t^2 + 4t - 6)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{0}~(t+2) sin(u)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = t^2 + 4t - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{du}{dt} = 2t + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{2t+4} = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{2(t+2)} = dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = (t+2) \cdot (-cos(t^2 + 4t - 6)) \cdot \frac{1}{2(t+2)}~dt \end{eqnarray*}$ |Stammfunktion zu f(x)

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{(-cos(t^2 + 4t - 6))}{2}~dt \end{eqnarray*}$

so jetzt richtig?

Stimmt. $\begin{eqnarray*} F'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

24.06.2008, 17:37

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Zitat:

Original von ZeRoberta
$\begin{eqnarray*} F(x) = (t+2) \cdot (-cos(t^2 + 4t - 6)) \cdot \frac{1}{2(t+2)}~dt \end{eqnarray*}$

Wieso steht links $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ - was hat hier ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu suchen? Was soll das "einsam verlassene" $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ am Ende? Wohin sind die Integralgrenzen verschwunden...

In dieser Häufung sind das nicht einfach nur Nachlässigkeiten, sondern schwere Versäumnisse. unglücklich

24.06.2008, 18:04

Nubler

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überlegung:
dort steht ja direkt was von der form:

$\begin{eqnarray*} \int \alpha \Phi '(\Psi(x))\Psi '(x)~dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ unabhängig von der integrationsvariable
was ist nun direkt eine stammfunktion dazu?

24.06.2008, 18:07

TyrO

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Zitat:

Original von MisterMagister

1.) ... - Wieso steht die 0 eigentlich oben?

Sie darf oben stehen.

27.06.2008, 22:22

MisterMagister

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Von mir aus, aber Leibniz würde sich wohl im Grabe umdrehen ... geschockt