Hypergeometrische Verteilung-Klausuraufgabe

23.06.2008, 15:14	Desi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypergeometrische Verteilung-Klausuraufgabe Hallo zusammen , in zwei Wochen schreibe ich eine Statistik-Klausur (2. Semester). Damit ich optimal vorbereitet bin (habe Statistik 1 mit sehr viel Glück und viel Üben bestanden), rechne ich momentan mehrere Übungsklausuren durch. Leider habe ich zu den meisten Aufgaben keine Lösungen und wäre euch daher dankbar, wenn ihr einmal über meine Ergebnisse drüberschauen könntet bzw. Antworten auf meine (vielen) Fragen hättet. Hier erstmal die Aufgabe: Ein Reifenhersteller hat eine Monatsproduktion von 5000 Reifen und dabei einen Ausschuss von 5%. a) Berechnen Sie die Varianz und E(x)! b) Man zieht eine Stichprobe von 10 Reifen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass i) ein Reifen ii) kein Reifen defekt ist? c) Eine neue Stichprobe vom Umfang 150 wird gezogen. Der Ausschussanteil beträgt 4%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 3 Reifen Ausschuss sind? zu a) Bei dieser Aufgabe würde ich die Hypergeometrische Verteilung (HV) verwenden. Aber kann ich VAR(x) und E(x) nicht erst rechnen, wenn ich die Daten aus b) bzw. c) habe? Aber da der Professor die Aufgabe so stellt, liege ich wahrscheinlich falsch und es geht auch anders? Kann mir jemand bitte erklären, warum und wie? zu b) Hier habe ich nach der HV gerechnet, da es sich um eine Stichprobe handelt von der man ausgehen kann, dass nicht zurückgelegt wird (Ich stelle mir vor, dass diese zehn alle auf einmal entnommen werden) und bei i) P(x=1)= 0,31557 und bei ii) P(x=0)= 0,59845 herausbekommen. Ist das richtig? Dann habe ich die Aufgabe auch nochmal nach der Binomialverteilung ausgerechnet und bin auf sehr ähnliche Ergebnisse (P(1)= 0,31512, P(0)= 0,59873) gestoßen. Ich habe schon mehrfach im Internet gelesen, dass man die HV durch die Binomialverteilung (BV) approximieren kann, wenn man aus großen Mengen (hier N=5000) kleine Mengen (M=250, weil 5% x 5000) wählt. Gibt es ein bestimmtes Verhältnis zwischen N und M, das man dafür als Faustregel verwenden kann, so dass man auf den ersten Blick prüfen kann, welche Verteilung man am besten verwendet? In diesem Fall waren beide schnell errechnet, wäre es deshalb egal gewesen, welche ich nehme oder hätte ich „sehen“ und aufzeigen müssen, dass auch die Binomialverteilung geht. zu c) hier habe ich erstmal versucht mit der HV zu rechnen, das ging aber nicht (es kam immer „error“ raus). Deshalb und weil ja schon das Ergebnis von b) gezeigt hat, dass die BV gut geeignet ist, habe ich diese verwendet: P(x<3)= P(0)+P(1)+(P2)= 0,002191+0,013695+0,042511=0,058397 Ist das Ergebnis richtig? Hier hätte ich auch mit dem Tafelwerk arbeiten können oder? Warum kann man bei c) nur die Binomialverteilung verwenden? Hat es etwas damit zu tun, dass meine Annahme der Ausschussanteil von 4% bezieht sich auf die 5000 Stück Monatsproduktion, also M=200, falsch ist? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen DD GlG Desi
23.06.2008, 16:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hypergeometrische Verteilung-Klausuraufgabe Es gibt hier 2 Betrachtungswinkel. Einmal nehmen wir es wörtlich, d.h. Bei 5000 Reifen sind 250 (5%) fehlerhaft und teilen somit die Reifen in 2 Gruppen ein (HV). Wie du aber schon richtig gelesen hast, kann man bei großen Stückzahlen auch approximieren und somit nehmen wir dann an, dass die Ausschusswahrscheinlichkeit p=0.05 beträgt. (BV) Bei n=5000 würde ich mich nun für die Variante 2 mit Binomialverteilung entscheiden.
23.06.2008, 22:43	Desi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke tigerbine für deine schnelle Antwort! Also du würdest die Binomialverteilung nehmen, weil du n=5000 als einen großen Wert ansiehst? Wie sieht es mit meiner Frage aus a) und c) aus? Es wäre super, wenn mir dort auch noch jemand helfen könnte Ich habe auch noch zu einer anderen Übungsaufgabe eine Frage, aber da ist es vermutlich besser, wenn ich dafür ein neues Thema eröffne, damit man hier von meinen vielen Fragen nicht überflutet wird. glg desi
24.06.2008, 00:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also den Wert sehe ich als ausreichend groß an. Ansonsten klick doch mal in die verlinkten Wiki Artikel. Da steht dann auch schon drin, wie man die Varianz und den Erwartungswert ausrechnet. Daher habe ich das nicht mehr abgetippt. Bei c) kann man imho auch bei n=150 die Binomialverteilung wählen, es liegt hier eben P=0.04 vor. Bei b) würde ich mit den Daten für p aus a) eben eine Bernoullikette der Länge 10 betrachten.
25.06.2008, 18:40	Desi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verlinkung ist mir gar nicht aufgefallen - sorry! Dankeschön!
28.06.2008, 18:10	Frankkkk	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst erst mal X definieren befor du den Erwartungswert und die Varianz avon berechnen kannst. X ist eine Zufallsvariable, aber was beutet sie denn in der Aufgabe? Z.B. könntest du definieren: X:"Anzahl der kaputten Reifen beim ziehen einer Stichprobe von einem Reifen" oder: X:"Anzahl der intakten Reifen beim Ziehen einer SP von 200" Reifen" oder: X:"Anzahl der intakten und gleichzeitig kaputten Reifen beim Ziegen einer Stichprobe von 3 Reifen"
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