Beweis mithilfe von Vektoren

10.05.2004, 19:46	Gästin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mithilfe von Vektoren Halllo. Unsere Aufgabe ist es, mit hilfe von Vektoren folgende Aufgabe zu lösen. Verbindet man eine Ecke eines Parallelogramms mit den Mitten der nicht anliegenden Seiten, so dritteln diese Strecken die sie schneidende Diagonale. Falls mir jemand helfen kann, vielen vielen Dank!! Edit: Bild der Antwort von Leopold angeglichen. Johko
10.05.2004, 20:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilung einer Strecke, Vektoren 1. Du mußt eine geschlossene Vektorkette (=Nullvektor) finden, in der der betreffende Teilungspunkt vorkommt. 2. Alle Vektoren der Kette müssen dann mit Hilfe zweier linear unabhängiger Vektoren ausgedrückt werden. 3. Die Gleichung wird zwei Parameter enthalten. Durch Sortieren nach den linear unabhängigen Vektoren bekommst du eine Darstellung des Nullvektors. 4. Wegen der linearen Unabhängigkeit kann die Darstellung in 3. nur die triviale sein, d.h. die Koeffizienten müssen 0 sein. 5. Löse das lineare Gleichungssystem in den beiden Parametern. Wenn man in deiner Figur, links unten beginnend und sich gegen den Uhrzeigersinn bewegend, die Eckpunkte A,B,C,D nennt, mit M die Mitte der Seite AB und mit T den unteren der interessierenden Teilungspunkte bezeichnet, dann gilt: 1. $\begin{align} \vec{AT} + \vec{TD} + \vec{DA} \ = \ \vec{o} \end{align}$ 2. $\begin{align} \vec{AT} \ = \ \lambda \vec{AC} \ , \ \ \vec{TD} \ = \ \mu \vec{MD} \end{align}$ Für die beiden linear unabhängigen Vektoren kann man z.B. $\begin{align} \vec{u} \ = \ \vec{AB} \ , \ \ \vec{v} \ = \ \vec{AD} \end{align}$ nehmen. Jetzt so ersetzen, daß die Gleichung aus 1. nur noch $\begin{align} \vec{u} , \vec{v} , \lambda , \mu \end{align}$ enthält. Dann weiter wie beschrieben.
11.05.2004, 08:01	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das Rezept von Leopold gern Schritt für Schritt durcharbeiten willst, melde dich dazu.Der dort angedachte zweite Schritt ist noch nicht vollständig. In der endgültigen Fassung darf nur eine Kombination aus den Vektoren $\begin{align} \vec{AB} und \vec{AD} \end{align}$ vorkommen. Also : $\begin{align} \vec{AT} = f \vec{AB} + g\vec{AD} \end{align}$ $\begin{align} \vec{TD} = s* \vec{AB} + t\vec{AD} \end{align}$ $\begin{align} \vec{DA} = (-1)* \vec{AD} \end{align}$ Diese Terme werden dann zusammengefasst zu $\begin{align} \(.l.\) \vec{AB} + \(.m.\) \vec{AD} = \vec{o} \end{align*}$ Johko
31.05.2004, 15:51	Flashhead	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, sorry, dass ich für meinen ersten Beitrag diesen alten Thread wieder rauskrame, aber mich plagt momentan ein Problem beim Beweisen mithilfe von Vektoren. Aufgabenstellung: Gegeben sind die Punkte A1, A2, A3 und A4 die alle auf einer Geraden liegen. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke A1A4. Es gilt: A1A2 = A2A3 = A3A4 (sprich die Streckenlängen der Abstände zwischen den Punkten sind immer gleich). Beweisen Sie: Ist P ein Punkt, der nicht auf der Geraden durch die Punkte A1 und A4 liegt, so gilt: $\begin{align} \vec{PA1}+\vec{PA2}+\vec{PA3}+\vec{PA4}=4\vec{PM} \end{align*}$ So, mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, ob ich wirklich einen riesigen geschlossenen Vektorzug, der alle Vektoren (sowohl die, die die Punkte A1 bis A4 verbinden und die, die die Punkte A1 bis A4 und M mit dem Punkt P verbinden) aufstellen soll. Das muss doch auch einfacher gehen, oder? Gruß, Daniel PS: Sorry, dass ich Euch keine Zeichnung liefern kann, aber leider kenne ich kein Programm, mit dem ich eine Maßstabsgerechte Skizze anfertigen könnte. Am besten Ihr macht Euch mit den obigen Angaben erst mal eine Zeichnung. Sollten trotzdem Probleme bestehen, dann werde ich versuchen mit Paint etwas nachzuliefern.
31.05.2004, 16:14	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde alle Vektoren durch die Basis $\begin{align} \vec{P A1}, \vec{A1 A2} \end{align}$ ausdrücken. Johkos Bilderdienst:
31.05.2004, 17:23	Flashhead	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich habe nicht daran gedacht, dass ich mir zwei linear unabhängige Vektoren suchen muss, aus denen die anderen abbildbar sind. Könnte ich denn in diesem Fall ohne geschlossenen Vektorzug arbeiten und einfach die Behauptung umformen? Denn wenn man $\begin{align} \vec{PA} \end{align}$ als $\begin{align} \vec{a} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{A1A2} \end{align}$ als $\begin{align} \vec{b} \end{align}$ bezeichnet, dann kann man ja die linke Seite umformen, indem man die Vektoren als Kombination aus $\begin{align} \vec{a} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{b} \end{align}$ ausdrückt. Schließlich würde auf der linken Seite der Gleichung dann $\begin{align} 4\vec{a} + 6\vec{b} \end{align}$ stehen und wenn man $\begin{align} 4\vec{PM} \end{align}$ durch $\begin{align} \vec{a} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{b} \end{align*}$ ausdrückt, steht schließlich dasselbe auf der rechten Seite. Wäre diese Art des Beweises zulässig? Denn ich finde beim besten Willen keinen geschlossenen Vektorzug, der geeignet wäre . Vielleicht findet ja jemand einen für mich . Gruß, Daniel
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31.05.2004, 17:55	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
So isses möglich - ein einfacher beweis durch Nachrechnen. Zu Beweisverfahren siehe auch mal was Ungewöhnliches: Johko
08.12.2011, 19:15	matheliegtmirnicht	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Fragen: 1) warum muss man unbedingt einen geschlossenen Vektorzug haben der alle Punkte beinhaltet? reicht nicht \vec{PA1} + \vec{A2A1} + \vec{A1P} = \vec{0} 2) warum hat man wenn man wenn man für \vec{PA1} \vec{a} einsetzt und für \vec{A2A1} \vec{b} auf der linken seite 4 x \vec{a} + 6 x \vec{b} raus? LG, Siggi

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