Gleichungssystem auflösen

26.03.2006, 19:05

lmar

Gleichungssystem auflösen

Servus,brauche dringend eure hilfe. Könnt ihr mir beim Lösungsweg
zum Gauß-Jordan-verfahren helfen?

x+ 2x -2x +3x = 2
2x+4x-3x+4x = 5
5x+10x-8x+11x=12

26.03.2006, 22:24

Dual Space

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RE: Lineare Algebra
Na gut. Erster Schritt: Das LGS in Matrix/Vektor-Schreibweise hinschreiben. (Poste mal was du raus hast.)

26.03.2006, 22:49

mercany

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Titel geändert

Und noch ein kleiner Starttipp, weils schon so spät ist smile

Zeile I * (-2) auf Zeile II addieren

Gruß, mercany

27.03.2006, 10:20

Dual Space

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Imar, mir ist grad aufgefallen, dass du deinen Variablen alle samt mit "x" bezeichnet hast. War bestimmt ein versehen, oder?

27.03.2006, 17:25

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Hi
Kommt vielleicht leere Menge raus?
Ich habe in der dritten Zeile irgendwann alles Nullen...
Das ist doch leere Menge oder?
also
$\begin{eqnarray*} \mathbb{L}={()} \end{eqnarray*}$

27.03.2006, 17:33

JochenX

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Wenn du LINKS nur Nuller hast gibt es zwei Fälle:
rechts KEINE 0, dann ist dein LGS unlösbar
rechts auch eine 0, dann streich die Zeile einfach weg und rechne weiter.

Dann ist das nämlich die (zwar sinnlose, aber in jedem Zusammenhang völlig richtige) Aussage: alles 0 mal addieren gibt 0.

27.03.2006, 17:48

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ja eine zeile ist nur mit Nullen. Ich habe die zeile wegstrichen.
es sieht so aus:

code:
1: 2: 3:	1 2 0 -1 = 4 0 0 1 -2 = 1 0 0 0 0 = 0

Die dritte Zeile durchstreichen und dann?

27.03.2006, 18:24

JochenX

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durchstreichen heißt auf gut deutsch "ignorieren", weil sie GAR NIX aussagt
es verbleiben einfach 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten, die du weiterbehandelst

27.03.2006, 18:45

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Ich habe jetzt für
$\begin{eqnarray*} x_3=-7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4=-4 \end{eqnarray*}$

folgenderweise habe ich das gemacht:

code:
1: 2:	1 2 0 -1 = 4 0 0 1 0 = -7

dann habe ich für $\begin{eqnarray*} x_3=-7 \end{eqnarray*}$ und das habe ich in der vorherigen gleichung eingesetzt, dann habe ich für $\begin{eqnarray*} x_4=-4 \end{eqnarray*}$ rausbekommen. stimmt das?

wie bekomm ich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

edit: kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=0 \end{eqnarray*}$ sind?? denn in jeder Gleichung, wo ich x3 und x4 einsetze, müssen x1 und x2 0 sein,damit es zum ergebnis kommt. Gibt es auch noch einen mathematischen Weg dies zu zeigen außer im Kopf zu rechnen?
vielleicht so:
$\begin{eqnarray*} 1x_1+2x_2-2x_3+3x_4=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1x_1+2x_2-2\cdot(-7)+3\cdot(-4)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1x_1+2x_2+2=2 \end{eqnarray*}$
kann man das so zeigen oder einen anderen weg?

edit2: hmmm habs mir anders überlegt... Es könnte ja auch sein, dass z.b. $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein können. Nur wie kann ich das bei der Aufgabe bestimmen?

27.03.2006, 19:39

JochenX

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das ganze gibt einen zweiparametrigen Lösungsraum.
wenn das stimmt, was du gerechnet hast, davon gehe ich jetzt mal aus:

dann sind alle Vektoren der Form b+sc1+tc2 Lösung
b ist eine gefundene Basislösung, z.B. (0/0/-7/-4): c1,c2 sind Vektoren, die das zugehörige homogene LGS lösen (finde einfach zwei lin. unabh.)

27.03.2006, 20:07

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Also wie genau mache ich sowas? davon hör ich zum ersten mal.
Oder meinst du so:
$\begin{eqnarray*} x_1=-2p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und auch $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=0 \end{eqnarray*}$

meinst du das so?

27.03.2006, 20:12

JochenX

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du kannst auch wie gehabt irgendwelche Parameter setzen und dann alles in Abhängigkeit davon ausrechnen.

du brauchst zwei Parameter.
Aber es gilt eben ganz allgemein:
Ein LGS Ax=b wird gelöst von {x1+L}, wobei x1 eine Basislösung ist (beliebige Lösung) und L der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0

Beweis in etwa: sei l beliebiger Vektor in L, also A*l=0
dann gilt A(x1+l)=Ax1+Al=b+0=b, also löst dann Basisvektor+l auch.

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