Komplizierte Wachstumsaufgabe

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Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplizierte Wachstumsaufgabe
Hallo,

Ich finde bei folgender Aufgabe zum exponentiellen Wachstum einfach keinen Ansatz:

"In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt in einer Woche um 20% zu. Wann kennt die gesamte Stadt (50.000 Einwohner) das Gerücht?"

Wie unterscheidet sich diese Aufgabe von gängigen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum?

Prost

Danke
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Wachstumsaufgabe
Wieviel Menschen kennen das Gerücht dann nach der ersten/zweiten Woche?
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »

ähm.. also aus der Aufgabenstellung geht das natürlich nicht hervor;
...nachder ersten Woche kennen es 20%...
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

verwende doch den ansatz: f(x)=c*e^(kx)
wobei k=ln(a) ist und c auch bekannt ist...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Und nach der zweiten?

beachte

Was ist und was ist bei dir?



Gruß, mercany
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bin ich irgendwie ganz schief gewickelt, wundert mich, dass das keiner bemäneglt hat, da fehlt eine Angabe.
wieviel wissen denn zunächst davon?

Wissen da 0 davon, dann wissen nach einer Woche 120%*0 davon usf. und es wird nie einer Wissen.
Wissen da aber schon alle davon, dann ist die Frage trivial usf.

Diese Information fehlt!


Achja noch was: exponentielles Wachstum halte ich für unpassend, das ist eher logisches Wachstum, oder wie das hieß.
Je weniger Leute es gibt, die davon nicht wissen, desto geringer wird nämlich wieder die "Weitererzählquote".
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Gelöscht!

Jochen: Man kann annehmen, dass ein neues Gerücht immer das Ergebnis einer gekränkten/gelangweilten Person ist. Ich finde das legitim!

Sarah: Falls was anderes in der Aufgabe stand ... sag es einfach!
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »
ähm
Danke für euere Antworten

...also soll c der Anfangswert n0 sein?
In der Aufgabe stand nichts weiter, also gehe ich auch davon aus, dass das Gerücht am Anfang (t=0) eine Person kennt...

und k ist die Wachstumskonstante...

Wie macht man dann weiter

...sorry aber hab black out verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Diese Aufgabe ist tatsächlich etwas schwierig.

Es ist klar, dass zu Beginn nur EINE Person das Gerücht kennt, nämlich jene, die es verursacht hat.

f(0) = 1

Im Übrigen darf dies nicht mit einer unbegrenzte Wachstumsfunktion angesetzt werden. Der letzte Satz der Aufgabenstellung weist auch darauf hin. Hier liegt ein logistisches (bzw. begrenztes) Wachstum vor, schon oft hier im Board behandelt, z.B.

hier

Daraus folgt, dass nie alle 50000 Einwohner von dem Gerücht wissen werden, weil diese Anzahl erst der Grenzwert nach unendlich langer Zeit ist. Man kann aber sicher berechnen, wann ein hoher Prozentsatz, z.B. 99% erreicht ist. Demzufolge kann auch die Wachstumsrate von 20% nicht während der gesamten Zeitdauer gleichbleiben. Diese wird etwa zu jener Zeit, in der die Kurve die größte Steilheit hat (im Wendepunkt), erreicht.

Aus dieser Bedingung () und den Anfangswerten

t .. in Wochen

f(0) = 1
G = 50000

kommt man zu



Deren Wendepunkt liegt bei ca. 27 Wochen, die Wachstumsrate beträgt dort 20% (1,2) und nach 38 Wochen ist das Gerücht ca. 49500 Personen (99%) bekannt (nach 44 Wo wissen's praktisch alle).



Übrigens: Warum bezeichnet GnuPlot die Achsen bei einem Faktor > 10000 (50000) nicht mehr?

mY+
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

edit zu spät und fehler traurig
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde Anfangswert 1 blöd

nach einer Woche wissen 1,2 Leute davon, wenn das mal ein gutes Gerücht ist..... erst nach 4 Wochen, weiß eine zweite Person davon?

Realität juhu......

Jochen



PS: Mensch, jetzt geh ich wieder lernen unglücklich *grml*
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED

Ja, das anfangs sehr langsame Wachstum hat mich auch gestört; wahrscheinlich wäre es besser, wenn man das 20% ige Wachstum bereits an den Anfang verlegt (bei meiner Methode ist's ja erst im Wendepunkt so). Aber auch dann findet eine Verdoppelung erst alle 4 Wochen statt, unabhängig davon, wie viele anfangs das Gerücht schon kennen.

Oder die Angabe wäre anders zu formulieren.

mY+
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »
begrenztes Wachstum
Also unter einem begrenzten Wachstum verstehe ich folgende Aufgabenstellung:

z.B. die typische Aufgabe mit dem Baum:
Ein Baum ist zum Zeitpunkt t0 1,5m hoch und wird maximal 25m. Wie groß ist der Baum nach 2 Jahren (t2)?

Bei der Aufgabe mit dem Gerücht ist es aber etwas anderes
oder doch nicht?
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es denn einen Unterschied zwischen exponentiellen begrenzten Wachstum und logistisch begrenztem Wachstum??

LOL Hammer
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sarah-21
Gibt es denn einen Unterschied zwischen exponentiellen begrenzten Wachstum und logistisch begrenztem Wachstum??
...


Ja, den gibt es sicher. Siehe dazu dort

Demnach lautet die Beziehung für ein exponentiell begrenztes Wachstum



oder auch (gleichbedeutend mit )



Aber auch hier besteht die gleiche Eigenschaft, dass die Wachstumsgeschwindigkeit nicht konstant ist, sondern stetig abnimmt. Wann eigentlich besteht nun die Wachstumsraten von 20%?

Bei der Aufgabe mit dem Baum fehlt noch eine Angabe; z.B. dass er 96% seiner maximale Größe in 30 Jahren erreicht.

Dann folgt aus f(0) = 1,5 -> b = 23,5 und aus f(30) = 24 -> a = 0,9

Die vollständige Funktion ist dann

und

f(2) ~ 6 m



mY+
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hi!

Diese Aufgabe ist tatsächlich etwas schwierig.

Es ist klar, dass zu Beginn nur EINE Person das Gerücht kennt, nämlich jene, die es verursacht hat.

f(0) = 1

Im Übrigen darf dies nicht mit einer unbegrenzte Wachstumsfunktion angesetzt werden. Der letzte Satz der Aufgabenstellung weist auch darauf hin. Hier liegt ein logistisches (bzw. begrenztes) Wachstum vor, schon oft hier im Board behandelt, z.B.

hier

Daraus folgt, dass nie alle 50000 Einwohner von dem Gerücht wissen werden, weil diese Anzahl erst der Grenzwert nach unendlich langer Zeit ist. Man kann aber sicher berechnen, wann ein hoher Prozentsatz, z.B. 99% erreicht ist. Demzufolge kann auch die Wachstumsrate von 20% nicht während der gesamten Zeitdauer gleichbleiben. Diese wird etwa zu jener Zeit, in der die Kurve die größte Steilheit hat (im Wendepunkt), erreicht.


Es geht ja bei dieser Aufgabe darum, den Wachstumsfaktor zu berechnen...

Dann könnte man doch einfach diese Gleichung lösen:

120 = 100 * e^(-k*1)
damit gilt k = 0,182322
Oder täusche ich mich da total?

...dann würde es sich ja um eine ganz normale Wachstumsfunktion handeln, nicht mit begrenztem Wachstum Big Laugh
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte hier ein begrenztes Wachstum vorliegen?
verwirrt verwirrt verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn, nachdem alle Einwohner der Stadt das Gerücht wissen!? Augenzwinkern
wächst die Anzahl derer, die es noch nicht kennen dann exponentiell weiter?!
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
Okay das sehe ich ein! Theoretisch liegt hier ein begrenztes Wachstum vor.

Aber, zurück zur Aufgabenstellung:
Zitat:
"In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt in einer Woche um 20% zu. Wann kennt die gesamte Stadt (50.000 Einwohner) das Gerücht?"


Es ist nur gefragt, wann die gesamte Stadt das Gerücht kennt. Man muss also eine Wachstumsfunktion aufstellen.

Ich hätte die Wachstumskonstante folgendermaßen berechnet:
Zitat:
120 = 100 * e^(-k*1)
damit gilt k = 0,182322


Der Ansatz müsste doch eigentlich stimmen...

Ich komme dann zum Wachstumsgesetz:
N (t) = N0 * e^0,182322^t

Und jetzt für N0 Anfangswert einsetzen: 1
N(t) sollen ja 50.000 Leute sein

auflösen:
50.000 = 1 * e^0,182322*t

t = 60 Tage
Zunge

Ich meine das wäre legal!
Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wirs so....
vielleicht kann Mythos selbst da noch mal was zu sagen......

ich halte die Aufgabenstellung so einfach für schlecht.
Nach den Angaben würde ich am ehesten auch noch das errechnen, was du tust, aber das es für den "üblichen Gebrauch" keinen Sinn macht (beachte auch, nicht 60 Tage, sondern Zeiteinheit Wochen) liegt einfach auf der Hand.

Meine bescheidene Meinung, warum muss auch immer alles Praxisbezug haben. smile
Sarah-21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nach den Angaben würde ich am ehesten auch noch das errechnen, was du tust, aber das es für den "üblichen Gebrauch" keinen Sinn macht (beachte auch, nicht 60 Tage, sondern Zeiteinheit Wochen) liegt einfach auf der Hand.


Womit wir also festhalten können, dass "60 Wochen" zwar ein richtiges Ergebnis ist, die Aufgabenstellung dennoch nicht richtig interpretiert wurde...

LOL Hammer

Damit würde ich mich dann zufrieden geben...ist nämlich besser als die Aufgabe gar nicht zu lösen... und das Ergebnis stimmt ja
Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Wachstumsaufgabe
Zitat:

... "In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt in einer Woche um 20% zu. Wann kennt die gesamte Stadt (50.000 Einwohner) das Gerücht?"

Wie unterscheidet sich diese Aufgabe von gängigen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum?
...


Der springende Punkt bei mir ist der letzte Satz. Nur wenn die Stadt weit mehr als 50000 EW hätte, würde mir der von Sarah zuletzt durchgeführte Weg sinnvoll erscheinen.

@Sarah: Weil du die Aufgabe ins Netz gestellt hast, denke ich, dass du dir deiner Rechnung nicht sicher bist. Habt ihr in der Zwischenzeit das Problem nicht in der Schule (nach)behandelt? Mich würde die Intention des Aufgabenstellers mal interessieren ...

mY+
meph1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ich denk mir das so....

i'(t) = k * i(t) * [N - i(t)]

wobei i'(t) die verreitungsrate ist
k ein faktor...weil die immer toll sind
N die gesamtzahk der leute
und i(t) die anzahl der informierten leute

somit geht es in ein beschränktes wachstum über weil N - i(t) sind ja die leute die noch informiert werden können und das werden im lauf der zeit immer weniger.

aaalso sind N die 50ooo

also lösen wir nun die DGL auf und erhalten die lösung...is ned des problem...

und dann würd ich i(t) = 0.2*N setzen und t=1
des ergebnis 0.2*N dann mit 120 multiplizieren, dann weiß mas bei t=2
des setzt ma wieder ein und dann hat ma 2 AWP's.

de löst ma dann nach k und C auf...nach dem 2 gleichungen 2 unbekannte prinzip und servus grüß dich lösung.
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