Tetraeder Axiomensystem

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26.03.2006, 23:46	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder Axiomensystem Hallo Zusammen, Ich habe hier ein Axiomensystem, welches modelliert einen Tetraeder darstellt. (Einfach für Bäume Ecken und für Reihen Kanten denken) Axiom 1: Jeder Baum gehört zu wenigstens einer Reihe Axiom 2: Zwei verschiedene Bäume gehören zu genau einer gemensamen Reihe. Axiom 3: Jede Reihe ist zu genau einer anderen Reihe disjunkt. Weiterhin habe ich drei Sätze, welche bereits bewiesen wurden: Satz 1: Jeder Baum gehört zu mindestens zwei Reihen Satz 2: Jede Reihe enthält wenigstens 2 Bäume Satz 3: Es gibt mindestens 6 Reihen ,sowie den vierten Satz, dessen Beweis ich nicht auf die Kette krieg´: Satz 4: Jede Reihe enthält genau 2 Bäume. Insgesamt gibt es genau 4 Bäume und 6 Reihen. Bin dankbar für sämtliche Denkanstöße Greez Glocke
27.03.2006, 00:06	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin etwas verwirrt: wie definiert ihr denn Ecken und Kanten, wie kann insbesondere eine Kante existieren, die nicht genau zwei Eckpunkte hat? Nach der mir geläufigen Definition ist eine Kante eine Verbindung zwischen 2 Ecken.
27.03.2006, 00:15	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
also "eigentlich" steht in dem Axiomensystem anstelle von Kanten Reihen und anstelle von Ecken Bäume. Ich habe die Begriffe geändert, damit das nicht allzu crazy ausschaut, aber der Schuß ging wohl nach hinten los. ich werd das mal editieren.. Greez Glocke
27.03.2006, 00:30	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein gefühlsmässig sag ich mal, das der springende Punkt ist, das du zeigen musst z.b. "mindestens 6" eigentlich genau 6 sein müsste und nicht mehr sein darf. und ich denke das dir dabei A3 am meisten weiterhilft ..
27.03.2006, 00:42	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder Axiomensystem Interessant, NUR: Fehlt da nicht eine Aussage über die Mindestexistenz von Ecken? - Wenn so ein $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ existiert, bekomme ich über (1) die Existenz einer Kante $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ und über (3) ein $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ . - Dann wird jedoch nicht garantiert, daß $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ Ecken hat... Hab ich was übersehen? __________________ Habs für mich mal so notiert: 1... $\begin{eqnarray} \forall E \quad \exists K : \quad E \in K \end{eqnarray}$ 2... Für $\begin{eqnarray} E_1 \neq E_2 \quad \exists ! K : \quad E_1,E_2 \in K \end{eqnarray}$ 3... $\begin{eqnarray} \forall K \quad \exists K^ : \quad K \cap K^* = \emptyset \end{eqnarray*}$
27.03.2006, 00:50	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder Axiomensystem Satz 2 sagt aus, dass jede Kante mindestens 2 Ecken hat. Wenn Jemand die Beweise der ersten 3 Sätze sehen möchte, bitte Bescheid geben. Greez Glocke @Ace: Du hast Recht. Es müsste noch gefordert werden, dass die Reihen nicht leer sind, sonnst klappt der Beweis des 2ten Satzes auch nicht.
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27.03.2006, 00:54	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Beweise wären interessant. Wenn ich einen Baum und 2 Reihen nehme (der Baum ist mit einer der Reihen koinzident), sind die 3 Axiome doch erfüllt? (es ist ja nicht gefordert, dass jede Reihe auch mindestens einen Baum enthalten muss?) Grüße Abakus EDIT: Zu spät... ok, dann ist es klar.
27.03.2006, 01:54	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Satz 1: Jeder Baum gehört zu mindestens zwei Reihen 1. Es sei ein Baum t gegeben 2. Es gibt eine Reihe A mit $\begin{eqnarray} t \in A \end{eqnarray}$ (A1) 3. Es gibt genau ein Reihe B mit $\begin{eqnarray} A \cap B =\emptyset \end{eqnarray}$ (A3) 4. Sei $\begin{eqnarray} u \in B \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} u \neq t \end{eqnarray}$ 5. Es gibt genau eine Reihe C mit $\begin{eqnarray} t,u \in C \end{eqnarray}$ (A3) Also gibt es zwei verscheidene Reihen A und C die t enthalten. Beweis Satz 2: Jede Reihe enthält wenigstens 2 Bäume Es ist eine Reihe A gegeben. 1. Es sei ein $\begin{eqnarray} t \in A \end{eqnarray}$ gewählt 2. Es gibt genau eine Reihe $\begin{eqnarray} B \neq A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in B \end{eqnarray}$ (S1) 3 .Es gibt genau eine Reihe C mit $\begin{eqnarray} C \cap B =\emptyset \end{eqnarray}$ (A3) 4. C enthält nicht den Baum t 5. Annahme: A enthält nur den Baum t 6. Dann ist $\begin{eqnarray} A \cap C =\emptyset \end{eqnarray}$ 7. $\begin{eqnarray} \exists ! \quad D \quad mit \quad C \cap D =\emptyset \end{eqnarray}$ 8. Also D=B und D=A damit A=B also Wiederspruch zu (2.), die Annahme ist falsch. A enthält wenigstens 2 Bäume Beweis Satz 3: Es gibt mindestens 6 Reihen 1. Es sei t ein beliebiger Baum 2. $\begin{eqnarray} \exists \quad zwei\quad Reihen\quad A \neq B \quad mit \quad t \in A,B \end{eqnarray}$ (S1) 3. $\begin{eqnarray} \exists s \neq t\quad mit\quad s \in A \quad und \quad !(s \in B) \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} \exists q \neq t\quad mit\quad q \in B \quad und \quad !(q \in A) \end{eqnarray}$ 5.Nun wird die durch s und q eindeutig bestimmte Reihe mit F definiert. Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} F \neq A \quad F \neq B \end{eqnarray}$ 6. Es gibt genau eine zu B disjunkte Reihe C, und genau eine zu A disjunkte Reihe D 7. C und D können nicht disjunkt sein, denn dann wäre D = B 8. Es kann auch nicht C=D sein, denn dann müsste A=B sein 9.Also ist $\begin{eqnarray} C \neq D \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \exists \quad r \in C \cap D \end{eqnarray}$ 10. Es gibt schliesslich genau ein zu F disjunkte Reihe E. Dies kann weder A, noch B, C oder D sein. 11. Somit sind die Reihen A,B,C,D,E und F alle voneineander verscheiden ich hoffe, dass das alles soweit richtig ist... Greez Glocke
27.03.2006, 03:00	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Zusatz (4) existiert $\begin{eqnarray} E_2 \in K_2 \end{eqnarray}$ und nun kommt (2) ins Spiel: Es garantiert mir $\begin{eqnarray} K_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E_1,E_2 \in K_3 \end{eqnarray}$ . - Dieses $\begin{eqnarray} K_3 \end{eqnarray}$ kann nicht $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ sein, wg. $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ . (3) gibt mir ein $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K_3 \cap K_4 = \emptyset \end{eqnarray}$ und (4) bzgl. $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ gibt mir ein neues $\begin{eqnarray} E_3 \in K_4 \end{eqnarray}$ . (2) besagt wg. $\begin{eqnarray} E_2 \neq E_3 \end{eqnarray}$ , daß $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ die eindeutige Kante mit $\begin{eqnarray} E_2, E_3 \in K_2 \end{eqnarray}$ ist und es gibt ein neues $\begin{eqnarray} K_5 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E_1, E_3 \in K_5 \end{eqnarray}$ . Jedenfalls ist $\begin{eqnarray} K_5 \neq K_3, K_2 \end{eqnarray}$ , da letztere $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ enthalten und wäre $\begin{eqnarray} K_5 = K_1 \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} E_3 \in K_1 \cap K_2 \neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Analog ist $\begin{eqnarray} K_5 \neq K_4 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} K_5 \cap K_i \neq \emptyset \end{eqnarray}$ für i=1,..,4 bedeutet die Existenz von $\begin{eqnarray} K_6 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K_6 \cap K_5 = \emptyset \end{eqnarray}$ . Und das bedeutet, daß $\begin{eqnarray} K_6 \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} K_i \end{eqnarray}$ mit i=1,2,3,4 jeweils nichtleer schneiden muß! $\begin{eqnarray} K_2,K_3,K_5 \end{eqnarray}$ sind bislang durch $\begin{eqnarray} E_1, E_2,E_3 \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt, insbesondere darf nicht $\begin{eqnarray} E_1, E_2,E_3 \in K_6 \end{eqnarray}$ sein, d.h. es gibt einen neuen $\begin{eqnarray} E_4 \in K_6 \end{eqnarray}$ . - Und für dieses $\begin{eqnarray} E_4 \end{eqnarray}$ muß gelten $\begin{eqnarray} E_4 \in K_1,K_4 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} K_3 \end{eqnarray}$ (in dieser Reihenfolge) je "zweite" Parallelen hätte. Es gibt keine weiteren disjunkten Kanten, da die Eindeutigkeit der "Parallelen" flöten ginge und weitere nichtdisjunkte Kanten $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ (wg. Symmetrie oE) durch $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ dürften $\begin{eqnarray} E_2,E_3,E_4 \end{eqnarray}$ nicht treffen, es müßte also ein $\begin{eqnarray} E_5 \in K \end{eqnarray}$ geben, dann wäre $\begin{eqnarray} E_1,E_5 \in K \end{eqnarray}$ und K parallel zu $\begin{eqnarray} K_5 \end{eqnarray}$ (hat schon eine). - Ergo gibt es garkeine Kanten mehr und damit keine Ecken... Geschichte ist zuende. Edit: puhh ist der Beweis grottenschlecht. - Laß ich mal als Abschreckung stehen... -----snip Ich brauche also nicht die Umkehrung von Ax.2, sondern die von Ax.1 (= Zusatz-4) für ... Satz 4: Jede Reihe enthält genau 2 Bäume. Insgesamt gibt es genau 4 Bäume und 6 Reihen. . . . Satz 5: Jede Ecke berührt genau 3 Kanten. __________________ Habs für mich mal so notiert: 1... $\begin{eqnarray} \forall E \quad \exists K : \quad E \in K \end{eqnarray}$ 2... Für $\begin{eqnarray} E_1 \neq E_2 \quad \exists ! K : \quad E_1,E_2 \in K \end{eqnarray}$ 3... $\begin{eqnarray} \forall K \quad \exists K^ : \quad K \cap K^* = \emptyset \end{eqnarray}$ Zusatz: 4... $\begin{eqnarray} K_i \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

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