weitere vollst. Induktion

10.05.2004, 19:51

Manix

weitere vollst. Induktion

Ok eine weiter Aufgabe zur vollst. Induktion aus einem Lehrbuch kann die Schritte leider nicht nachvollziehen. Wär für Hinweise sehr dankbar.
Also:

$\begin{align*} \Bigsum_{i=1}^n~i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}$

IA für n=1 ist klar.

Jetzt rechte Seite für n+1

$\begin{align*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{align*}$

so jetzt wird umgeformt :

$\begin{align*} (n+1)[\frac{n(2n+1)}{6}+(n+1)] \end{align*}$

einmal wurde (n+1) aus dem Zähler vor die gesamte Klammer gezogen aber wo bitte bleibt das (n+1)^2 ?

Vortsetzung folgt, wenn ich diesen Schritt erst mal verstehe...

Vielen Dank

10.05.2004, 20:10

Anirahtak

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Hallo,

würde dir gerne helfen, versteh aber dein Problem nicht so ganz?

Wo sollte deiner Meinung nach (n+1)² stehen und das ist aber nicht der Fall?

Gruß
Anirahtak

10.05.2004, 20:21

Deakandy

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http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1533&sid=
Boah isch krieh plaque...
Habe ich nicht eben schon gesagt, dass es einen Workshop dazu gibt in Analysis???
Hättest du nciht fragen können, wenn du es nicht findest...
SChaue halt selber nach...
X(
Einfacher geht es nciht

Auch an die Mods...bitte einfach auf die Workshops hinwiesen...
Andy
EDIT:Außerdem ist das KEINE höhere Mathematik

10.05.2004, 20:24

Manix

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ich bin ein idiot habs jetzt selbst kapiert....
nächstes Problem wieder eine Umformung:
$\begin{align*} (n+1)[\frac{n(2n+1)+6n+6}{6}] \end{align*}$
= $\begin{align*} (n+1)[\frac{n(2n+3)+4n+6}{6}] \end{align*}$
und dann
= $\begin{align*} (n+1)[\frac{n(2n+3)+2(2n+3)}{6}] \end{align*}$
ist klar nach
= $\begin{align*} (n+1)[\frac{(n+2)+(2n+3}{6}] \end{align*}$

10.05.2004, 21:04

Deakandy

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RE: weitere vollst. Induktion
ohne Worte ne...

Zitat:

Original von Deakandy
1. Beispiel
Für alle n€ |N gilt: $\begin{align*} \bigsum_{k=1}^n~k = 1+2+...+n = \frac {n\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$

Beweis: Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach n
Induktionsanfang (IA): Man zeige, dass n=1 gilt
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^1~k = 1 = \frac {1\cdot(1+1)} {2} \end{align*}$
Induktionsvorraussetzung (IV): Es gelte für ein $\begin{align*} n \geq 1 \end{align*}$
Induktionsschluss (IS): Man schließe von n auf n+1 ( n|-->n+1)
Das heißt man hat zu zeigen, das folgendes gilt:
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^{n+1}~k = \frac {(n+1)\cdot(n+1+1)} {2} =\frac {(n+1)\cdot(n+2)} {2} = \frac {n^2+3n+2} {2} \end{align*}$
Nun geht man wie folgt vor:
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^{n+1}~k = (\bigsum_{k=1}^n~k) +(n+1) \end{align*}$
In diesem Schritt holt man lediglich den letzten Summanden raus.
Nun kann man die Induktionsvorraussetzung anwenden
Man setzt für die Summe
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^n~k \end{align*}$ genau das ein, was aus der Voraussetzung gilt und zwar $\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$
Eingesetzt ergibt sich dann folgender Therm:
$\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} +n+1 \end{align*}$
Diese Summe bringt man geschickt auf einen Bruch durch Erweitern
$\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} + \frac {2\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {(n^2+n)+(2n+2)} {2} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {n^2+3n+2} {2} \end{align*}$
Und genau das war zu zeigen.
Man hat nun genau die Form, wie sie unter dem Induktionsschluss stehen hat.
Die Behauptung ist dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen. q.e.d.

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