Homöomorphismus zwischen kompaktem Raum und Hausdorff Raum

24.06.2008, 12:21

Dunkit

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Homöomorphismus zwischen kompaktem Raum und Hausdorff Raum

Hallo zusammen.
Folgende Vorraussetzungen sind gegeben:
X kompakter topologischer Raum
Y Hausdorff-Raum
$\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ bijektiv und stetig

Die Behauptung ist, dass f ein Homöomorphismus ist.

Nun meim Beweis dafür:

X kompakt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(X) kompakt, wegen der Stetigkeit von f.
$\begin{eqnarray*} f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ Hausdorff-Raum

Sei V eine beliebige Umgebung $\begin{eqnarray*} V\subset f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ V abgeschlossen (1) (diese Implikation haben wir bereits bewiesen)

Dann ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, denn wäre $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ offen, so wäre wg. d. Stetigkeit von f auch $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(V)) = V \end{eqnarray*}$ offen. (Widerspruch zu (1))

Also gilt $\begin{eqnarray*} V \subset Y \textrm{abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(V) \textrm{abgeschlossen} \end{eqnarray*}$
Und dies ist äquivalent zur Stetigkeit von f.

So weit so richtig?! Hoffe ich doch, bin aber für Berichtigungen offen...

Jetzt kommt aber noch eine Frage: "Was lässt sich aussagen, wenn X nicht kompakt vorrausgesetzt wird?". Dass mein Beweis dann nichtmehr funktioniert, ist mir klar. Aber kann ich unter Umständen noch schwächere Aussagen über f machen?!

24.06.2008, 12:38

therisen

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RE: Homöomorphismus zwischen kompaktem Raum und Hausdorff Raum

Zitat:

Original von Dunkit
Sei V eine beliebige Umgebung $\begin{eqnarray*} V\subset f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ V abgeschlossen (1) (diese Implikation haben wir bereits bewiesen)

Was ist denn das für eine sinnfreie Aussage?

24.06.2008, 12:45

Dunkit

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ICh gebe mal die Aussage so wieder wie sie vor zwei Übungsblättern bewiesen wurde:

X topologischer Raum

Ist X ein Hausdorff-Raum und $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt, so ist K abgeschlossen.

In diesem Fall ist f(X) der Hausdorff-Raum, V kompakt (weil Teilmenge von f(X) und f(X) kompakt) also ist V abgeschlossen

24.06.2008, 12:52

therisen

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Zitat:

Original von Dunkit
In diesem Fall ist f(X) der Hausdorff-Raum, V kompakt (weil Teilmenge von f(X) und f(X) kompakt) also ist V abgeschlossen

Und was soll bitte V sein? Der Beweis ist übrigens ein Einzeiler (Zeige, dass f abgeschlossen ist).

24.06.2008, 12:56

Dunkit

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Zitat:

Sei V eine beliebige Umgebung $\begin{eqnarray*} V \subset f(X) \end{eqnarray*}$

Also halt irgendeine Umgebung irgendeines Bildpunktes....

24.06.2008, 13:01

therisen

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Umgebung bezieht sich immer auf irgendetwas, daher war deine obige Aussage "Sei V irgendeine Umgebung" Unsinn. Außerdem behauptest du gerade, dass ein kompakter Raum nur abgeschlossene Teilmengen hätte. $\begin{eqnarray*} [0,1]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist kompakt, $\begin{eqnarray*} (0.5,0.6) \end{eqnarray*}$ ist eine Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray*} 0.55 \end{eqnarray*}$ , aber offensichtlich nicht abgeschlossen.

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24.06.2008, 13:05

Dunkit

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naja, aber $\begin{eqnarray*} [0,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ja auch kein Hausdorff-Raum, oder?
$\begin{eqnarray*} f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ ist aber ein Hausdorff-Raum und somit müsste die Aussage doch gelten?!

Wegen der Umgebung: Wenn ich das umformuliere zu "Sei V eine beliebige Umgebung eines belibigen Punktes $\begin{eqnarray*} y \in f(X) \end{eqnarray*}$ " wäre das in Ordnung?

24.06.2008, 13:05

Dual Space

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Zitat:

Original von Dunkit
Ist X ein Hausdorff-Raum und $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt, so ist K abgeschlossen.

In diesem Fall ist f(X) der Hausdorff-Raum, V kompakt (weil Teilmenge von f(X) und f(X) kompakt) also ist V abgeschlossen

Um dieses Resultat zu nutzen, müsstest du schon die Kompaktheit von V fordern.

24.06.2008, 13:06

therisen

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Zitat:

Original von Dunkit
naja, aber $\begin{eqnarray*} [0,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ja auch kein Hausdorff-Raum, oder?

Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum!

Zitat:

Original von Dunkit
$\begin{eqnarray*} f(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ ist aber ein Hausdorff-Raum und somit müsste die Aussage doch gelten?!

Nein, siehe oben.

Zitat:

Original von Dunkit
Wegen der Umgebung: Wenn ich das umformuliere zu "Sei V eine beliebige Umgebung eines belibigen Punktes $\begin{eqnarray*} y \in f(X) \end{eqnarray*}$ " wäre das in Ordnung?

Die Formulierung ist ok.

24.06.2008, 13:10

Dunkit

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Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von Dunkit
Ist X ein Hausdorff-Raum und $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt, so ist K abgeschlossen.

In diesem Fall ist f(X) der Hausdorff-Raum, V kompakt (weil Teilmenge von f(X) und f(X) kompakt) also ist V abgeschlossen

Um dieses Resultat zu nutzen, müsstest du schon die Kompaktheit von V fordern.

Hab ich doch?! V ist als Teilmenge eines kompakten Raumes $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ kompakt. $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ ist wiederum kompakt, weil X kompakt ist und f stetig

verwirrt

verwirrt

EDIT: @therisen: OK, ahbe gerade nochmal über Hausdorff nachgelesen, hatte das falshc im Kopf.
Aber trotzdem müsste die Aussage

Ist X ein Hausdorff-Raum und $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt, so ist K abgeschlossen.

doch korrekt sein, schließlich haben wir die auf einem Übungsblatt mal beweisen sollen?!

24.06.2008, 13:50

therisen

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Zitat:

Original von Dunkit
Hab ich doch?! V ist als Teilmenge eines kompakten Raumes $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ kompakt.

Das ist Blödsinn.

Zitat:

Original von Dunkit
EDIT: @therisen: OK, ahbe gerade nochmal über Hausdorff nachgelesen, hatte das falshc im Kopf.
Aber trotzdem müsste die Aussage

Ist X ein Hausdorff-Raum und $\begin{eqnarray*} K \subset X \end{eqnarray*}$ kompakt, so ist K abgeschlossen.

doch korrekt sein, schließlich haben wir die auf einem Übungsblatt mal beweisen sollen?!

Ja, das ist korrekt.

24.06.2008, 14:23

Dunkit

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SO, jetzt habe ich nochmal ganz neu angefangen.

In dem Satz

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} U \subset Y \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, dann auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} (U) \Leftrightarrow f: X \to Y \textrm{ stetig} \end{eqnarray*}$

kann ich ja das f durch f^-1 ersetzen und dann es ja tatsächlich zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, auch $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist und das folgt aus der Stetigkeit von f, oder?

Dann habe ich aber ja nichtmal annährend alle vorraussetzungen benutzt, was mich ein wenig stutzig macht....

24.06.2008, 14:38

Dunkit

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Vergesst das, ich glaube diese Skizze ist besser:

$\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ abg. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ U kompakt, weil X kompakt und U abg.

wegen der Stetigkeit: $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ kompakt.

$\begin{eqnarray*} f(U) \subset Y \end{eqnarray*}$ wobei Y ein HDR ist.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(U) abgeschlossen
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f ist ein Homöo.

24.06.2008, 15:15

Dual Space

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Zitat:

Original von Dunkit
$\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ abg. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ U kompakt, weil X kompakt und U abg.

Das gilt nur in endlichen Dimensionen. Ist das hier der Fall?

24.06.2008, 15:18

Dunkit

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Hm stehen tut es hier nicht, allerdings haben wir bishe rimmer nur endlich dimensionale Fälle behandelt? Wie müsste ich denn sonst vorgehen?
bzw. welche Rolle spielt die Kompaktheit?

24.06.2008, 15:37

Dual Space

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Eine zündende Beweisidee habe ich noch nicht, aber vielleicht halten wir mal fest, was wir bereits wissen, um das Chaos ein wenig zu sortieren.

Nach Voraussetzung ist f stetig und bijektiv, damit also invertierbar und es ist f(X)=Y, wobei Y wegen der Kompaktheit von X auch kompakt ist.

Nun könntest du vielleicht versuchen in folgender Richtung zu argumentieren: Angenommen $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ wäre nicht stetig, dann wäre $\begin{eqnarray*} (f^{-1})^{-1}=f \end{eqnarray*}$ ebenso unstetig.

Ob dieser Weg erfolgreich ist, und wo genau du die Kompaktheit nutzen musst kann ich dir im Moment noch nicht sagen.

24.06.2008, 15:53

therisen

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Nachdem DualSpace meinen Beitrag editiert (und damit zerstört hat), muss ich mich erneut(!) wiederholen Finger2

Finger2

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von Dunkit
$\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ abg. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ U kompakt, weil X kompakt und U abg.

Das gilt nur in endlichen Dimensionen. Ist das hier der Fall?

Jetzt sind wir also in normierten Räumen.

Zitat:

Original von Dunkit
Hm stehen tut es hier nicht, allerdings haben wir bishe rimmer nur endlich dimensionale Fälle behandelt? Wie müsste ich denn sonst vorgehen?
bzw. welche Rolle spielt die Kompaktheit?

Hör auf von Dimensionen zu sprechen... Ich habe dir bereits gesagt, wie die Aufgabe sehr leicht zu lösen ist:

Zitat:

Original von therisen
Der Beweis ist übrigens ein Einzeiler (Zeige, dass f abgeschlossen ist).

PS: Viele Köche verderben den Brei. Entweder zieht sich DualSpace aus diesem Thread zurück oder ich tue dies.

24.06.2008, 18:01

Dual Space

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Sorry, therisen. Das war gewiss keine Absicht. Gott

Gott

Bin dann weg hier.

24.06.2008, 18:21

Dunkit

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So da bin ich wieder.

Was verstehst du denn unter "f ist abgeschlossen"? Ich kenne Abgeschlossenheit nr als eine Eigenschaft von MEngen?!

24.06.2008, 18:25

therisen

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Eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen heißt abgeschlossen, wenn sie abgeschlosene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet.

24.06.2008, 18:46

Dunkit

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Ok also wenn ich zeige, das f abgeschlossen ist (mit Folgenkriterium und Stetigkeit von f?), wieso weiss ich dann, das f^(-1) stetig ist?! Denn das ist doch, was ich noch zeigen muss, damit f eine Homöomorphismus ist.

24.06.2008, 18:54

therisen

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Zitat:

Original von Dunkit
Ok also wenn ich zeige, das f abgeschlossen ist (mit Folgenkriterium und Stetigkeit von f?)

Folgenkriterium? Naja, es wäre sehr umständlich, hier mit Netzen (das ist der topologische Fachbegriff!) zu arbeiten. Die Abgeschlossenheit von f folgt aus bekannten Sätzen, die du sicherlich auch kennst (oder warum glaubst du, dass Y hausdorffsch ist?)

Zitat:

Original von Dunkit
wieso weiss ich dann, das f^(-1) stetig ist?! Denn das ist doch, was ich noch zeigen muss, damit f eine Homöomorphismus ist.

Man überlegt sich leicht: Eine bijektive Abbildung f ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn f stetig und abgeschlossen ist.

PS: Das ist aber eine komische Topologie-Vorlesung, wenn du nichtmal diese Eigenschaften kennst!

24.06.2008, 19:01

Dunkit

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Ja, die Vorlesung ist komisch.... Ana II ist in zweo Wochen zu Ende und wir haben gerade mit der Diffbarkeit im Mehrdimensionalen angefangen... -.-
Daher fehlen uns wahrscheinlich in der Topologie einige Sachen, sonst wären wir wohl nie bei der Diffbarkeit angekommen unglücklich

unglücklich

DAnn werde ich mich jetzt mal ranmachen,...

24.06.2008, 19:22

therisen

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Naja, OK, mit Topologie-Vorlesung meinte ich nicht Ana 2, sondern Topologie 1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2008, 19:26

Dunkit

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Mal was anderes: Ist das nicht eigtl die Implikation, die du meinst, nur vllt etwas umständlich gezeigt? Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Dunkit
$\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ abg. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ U kompakt, weil X kompakt und U abg.
wegen der Stetigkeit: $\begin{eqnarray*} f(U) \end{eqnarray*}$ kompakt.

$\begin{eqnarray*} f(U) \subset Y \end{eqnarray*}$ wobei Y ein HDR ist.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(U) abgeschlossen
...

24.06.2008, 19:29

therisen

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Ja, genau.

24.06.2008, 19:32

Dunkit

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Ah ok.
Die letzte Implikation bzgl Bijektivität und Stetigkeit habe ich gerade in etwas anderer Formulierung im Skript gefunden.

Danke Freude

Freude

24.06.2008, 19:34

therisen

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Na also. Die Aussage ist aber auch leicht zu beweisen. Übrigens war das nicht umständlich.

25.06.2008, 01:10

WebFritzi

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@therisen: Dunkit hatte bereits in Beitrag 13 einen korrekten Beweis gebracht.

25.06.2008, 12:16

therisen

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Stimmt, bedingt durch DualSpaces Beitrag hatte ich das übersehen. Seltsam ist, dass Dunkit wenig später nicht mehr weiß, was er vorher gefolgert hat (f abgeschlossen => f^{-1} stetig) (bzw. warum das gilt).

25.06.2008, 15:09

Dunkit

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Na, das hat mich alles schwer durcheinander gebracht.
Hatte die von dir angesprochene Implikation zunächst zwar zur Kenntnis genommen, aber nicht bemerkt, dass sie zu der aus dem Skript äquivalten ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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