projektive Transformationen

24.06.2008, 13:22

July

projektive Transformationen

Hallo!

Ich könnte ein wenig Hilfe bei folgender Aufgabe gebrauchen:
"Zeigen Sie, die projektiven Transformationen bilden eine Gruppe."

Zur Erinnerung: Projektive Transformationen sind Abbildungen folgender Gestalt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(f_A) : \mathbb{P}^n_K \rightarrow \mathbb{P}^n_K , [x] \mapsto [Ax] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \in K^{(n+1) \times (n+1)} \end{eqnarray*}$

So, mein Problem ist jetzt die Umsetzung der allgemeinen Gruppenkriterien. In allgemeiner Form lauten die Gruppenkriterien ja wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \phi : G \times G \rightarrow G , (a,b) \mapsto a \circ b = ab \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} a \circ (b \circ c) = (a\circ b) \circ c \quad \forall a,b,c \in G \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \exists e \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ea = a =ae \quad \forall a \in G \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \exists a^{-1} \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} aa^{-1} = e = a^{-1}a \quad \forall a\in G \end{eqnarray*}$

Aber wie übersetzte ich das jetzt auf die proj. Tranformationen?
Kann man schreiben:
1) $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(f_A) ([a]([b][c])) = [Aa]([Ab][Ac]) =^{Matrizenmult.} ([Aa][Ab])[Ac] = \mathbb{P}(f_A) (([Aa][Ab])[Ac]) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(f_A) ([A^{-1}][a]) = [AA^{-1}][Aa] = Id [Aa] = [Aa] = [Aa] Id = [Aa][AA^{-1}] = \mathbb{P}(f_A)([a][A^{-1}]) \end{eqnarray*}$

oder is das ganz falsch? Wenn ja, die sieht das anders aus?

24.06.2008, 15:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von July
3) $\begin{eqnarray*} \exists a^{-1} \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} aa^{-1} = e = a^{-1}a \quad \forall a\in G \end{eqnarray*}$

Ich hab zwar keine Ahnung von dem Rest, aber das ist falsch. Man sollte immer exakt auf die Reihenfolge der Quantoren achten. Korrekt ist es so:

$\begin{eqnarray*} \forall\ a\in G\ \exists\ a^{-1}\in G \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=a^{-1}a=e \end{eqnarray*}$ gilt.

24.06.2008, 20:53

July

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gute, danke für den hinweis...

Hat denn keiner ahnung von projektiver Transformation?!

Bitte Leute, muss es morgen schon abgeben...

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