DGL Anfangswertproblem |
| 24.06.2008, 14:43 | Oppi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| DGL Anfangswertproblem also wir haben in Analysis II grade Differentialgleichungen eingeführt, und ich hab jetzt meine ersten Übungsaufgaben dazu. Ich sitze jetzt seit etwa einer Stunde an diesem Anfangswertproblem : ("Lösen Sie das Anfangwertproblem" und "Was ist der maximale Definitionsbereich der Lösung", wobei ich mal vermute, dass letzteres machbar wäre, wenn ich erstmal eine Lösung hätte ) und ich komme irgendwie auf keinen grünen Zweig. Die Sätze die wir bisher dazu bekommen haben, beziehen sich auf die bloße Existenz einer Lösung, nicht auf das Finden derselben, von daher habe ich irgendwie das Gefühl, dass es schlussendlich immer auf "raten" rausläuft .... ich hab zwar ein bisschen mit der Exponentialfunktion und logarithmen rumexperimentiert, aber so wirklich weiter komme ich nicht. Kann mir jemand einen Tip zu diesem spezifischen Problem geben, und gibt es nicht irgendeine mehr oder weniger zuverlässige Methode, ohne "Knobeln" auf ein Ergebnis zu kommen ? |
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| 24.06.2008, 14:56 | Simon4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hattet ihr schon "separierbare Differentialgleichungen"? |
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| 24.06.2008, 15:09 | Oppi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmmmm sagt mir nichts .... wir haben den Satz von Picard-Lindelöf, dann hat er kurz was zur Lösung durch Substitution gesagt (wobei mir hier irgendwie auch keine gute einfällt) und sonst ..... hat er eigentlich nur Sätze zur "Existenz und Eindeutigkeit" von Lösungen gebracht .... Explizit gezeigt, wie man sowas löst, hat er nur in ein oder zwei Beispielen, aber das waren so die typischen Trivialbeispiele, bei denen man die Lösung sofort sieht, und helfen mir deshalb halt überhaupt nicht weiter, bei einer Aufgabe, bei der ich sie nicht sofort sehe .... |
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| 24.06.2008, 15:27 | Simon4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm scheint mir seltsam dass ihr dann schon so ein Beispiel habt. Also vielleicht kann mans auch mit einem Trick lösen den ich nicht kenne aber es handelt sich dabei grundsätzlich soweit ich das sehe um eine separierbare DGL und dort gibts ein Standardverfahren wie man auf eine Lösung kommt. Und zwar kannst du schreiben und dann die Gleichung separieren. Dann erhälst du rechts eine Funktion von x mal dx und links eine Funktion von y mal dy. Nun kannst du auf beiden Seiten integrieren und dann noch nach y auflösen. |
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| 24.06.2008, 15:58 | Oppi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also du meinst ? Was mich ja vor das Problem stellen würde, das Integral über berechnen zu müssen ..... und wenn ich das kennen würde, könnte ichs ja gleich in die Exponentialfunktion schmeissen und das dann y nennen, und das habe ich ja zu Beginn versuchen wollen .... so gesehen bringt mich das nicht wirklich weiter ..... oder habe ich dich jetzt komplett falsch verstanden ? |
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| 24.06.2008, 16:10 | Simon4 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das Integral müsstest du halt lösen. Das gehört zum Verfahren. Doch das ist durch Substitution möglich. Ich verstehe nicht ganz was du mit "in die Exponentialfunktion schmeissen" meinst. Ausserdem müsste es auf der linken Seite (1 / y(x))dy heissen. Ich habs eben durchgerechnet und bin auf die Lösung wobei C > 0 gekommen. Also ich würds an deiner Stelle mal probieren und wenn du nicht weiter kommst kann ich den Weg noch zeigen. |
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| 24.06.2008, 16:21 | Oppi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja, damit meine ich, wenn ich eine Stammfunktion von diesem Ausdruck kenne, dann nenne ich y eben e^(diese Stammfunktion) .... und wenn ich das dann ableite, bekomme ich das Gewünschte Ergebnis, weil e mit seinem Exponenten ja stehen bleibt, und ich nur die innere Ableitung als Faktor davor ziehe. Oder wo ist mein Denkfehler ? naja danke erstmal, ich versuche mich dann mal an dem Integral. |
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| 24.06.2008, 17:32 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da gibts keinen Fehler, deine Überlegung ist absolut richtig. Bei dieser Gleichung funktionieren eben mehrere Methoden. Wichtig ist: Diese ganze Methode, mit dem Differential einfach so zu rechnen, bedarf eigentlich einer sauberen Begründung, denn dy/dx ist eigentlich ein festes Symbol, was du nicht einfach mal so in seine Bestandteile zerlegen darfst. Diese Begründung liefert dir aber sicher (bald) deine Vorlesung. Hier würde auch noch folgendes gehen: dividiere durch y(x) und integriere beide Seiten. Die linke Seite kannst du mit logarithmischer Integration lösen (im Zähler steht die Ableitung des Nennes), auf der rechten brauchst du auch bei dieser Methode wieder dasselbe Integral. Dafür ist dann auch nichts "getrickst". |
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