Arithmetische Folge

27.03.2006, 18:32

Kira 007

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Arithmetische Folge

Hallo zusammen

nach der Arithmetrischen und geometrischen Folge
beschäftige ich mich nun mit der Arithmetrischen Reihe

Habe folgende Aufgabe

Ein Unternehmen verkauft in der1. Woche des jahres 60 Stück eines Produktes, in der 2. Woche 80 Stück. Wie hoch ist der gesamte Jahreserlös (52Wochen), wenn die wöchentliche Erlössteigerung in gleichem Maße anhält und der preis von 4€ konstant bleibt.

Mein Problem an der Aufgabe ist:

ich weiß nicht wie ich mir die Formel her Leite für diese Aufgabe, ich möchte nämlich nicht nur die Formel sondern auch die Herleitung verstehen.

Die beiden formeln einzeln für die arithmetrische Folge kenne ich und die Arithmetrische Reihe

Arithmetrsiche Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)*d \end{eqnarray*}$

Arithmetrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*n*(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

27.03.2006, 18:52

klarsoweit

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RE: Arithmetrische Folge
Du mußt erstmal die arithmetische Folge bilden, also a1 und d bestimmen.

27.03.2006, 18:57

Kira 007

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Ok

also $\begin{eqnarray*} a_1=60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=20 \end{eqnarray*}$

die beiden Werte kann man glaube ich auch ablesen

27.03.2006, 19:01

klarsoweit

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RE: Arithmetrische Folge
OK. Dann kannst du auch die Summe $\begin{eqnarray*} s_n = \frac{1}{2}*n*(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$ berechnen.
Oder wo ist das Problem?

27.03.2006, 19:07

Kira 007

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Ich habe ja nur folgende Werte

$\begin{eqnarray*} a_1=60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=52 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=20 \end{eqnarray*}$

oder anders beser Ausgedrückt

wenn ich meine allgemine Grundformel

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}*(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$ nehme wie komme ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}(2a_1+[n-1]*d) \end{eqnarray*}$

das ist ja Formel die ich brauche

Gruß Kira

27.03.2006, 21:57

Teutone

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Hi,
Ja genau diese Formel brauchst du. Zum Herleiten gibt es sicherlich mehrere Möglichkeiten. Wenn du dabei von deiner anderen Formel für die Partialsumme ausgehen willst, dann mache einfach folgendes:

$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{n}{2}*(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$

Setze hier einfach für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ die explizite Formel der arithmetischen Folge ein, also $\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)\cdot d \end{eqnarray*}$

Dann dürftest du nach "Zusammenfassen" deine gewünschte Formel haben.

Andere Möglichkeit sich diese Formel für die Partialsumme zu verdeutlichen ist vielleicht:

Ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray*} s_n=\frac{n}{2}\big(2a_1+(n-1)\cdot d\big)=na_1+\frac{n^2-n}{2}\cdot d \end{eqnarray*}$

Wenn du dir nun nochmal so ne Folge verdeutlichst, siehst du, dass da ja dieses $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} n\text{-mal} \end{eqnarray*}$ vorkommt und der Faktor vor $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Summe der natürlichen Zahlen bis $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ ist. Die kann eben zu $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-n}{2} \end{eqnarray*}$ nach Gauß zusammenfassen.

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28.03.2006, 17:20

Kira 007

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Hallo

erst einmal vielen dank für die Hilfe.

habe soweit alles verstanden, bis auf ein paar Begriffserklärungen

und zwar was bedeutet implizierte und explizierte Formel und was ist eine Partialsumme

ist eine Partialsumme nicht die Summe einer unendlichen Folge?

Gruß Kira

29.03.2006, 21:56

Kira 007

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Weiß dabei nicht genau wo der Unterschied zwischen der Implizierten und der explizieten Darstellung liegt.

Gruß Kira

29.03.2006, 23:23

Teutone

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Oh sorry, die Frage war ja noch aktuell.
Also Folgen kann man auf 2 Arten darstellen:

Explizite Formel:
Mit dieser Formel kann ein bestimmtes Glied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sofort brechnet werden. Also alles, worums hier ging.

Implizite oder rekursive Formel:
Man gibt hier das erste Glied einer Folge an und dann eine Formel, wie man von einem beliebigen Glied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zum nächsten $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ kommt.
Bei arithmetischen Folgen, wär das z.B.: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+d \end{eqnarray*}$ , für Geometrische folgen kannst dir ja selbst ne rekursive Formel überlegen...

30.03.2006, 21:10

Kira 007

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Hy super vielen dank für die Erklärung,

bei so vielen Beiträgen kann man doch leicht etwas übersehen.

Hätte noch eine Frage bezüglich der Folgenden Aufgabe

Das letzte Glied einer arithmetrischen Folge hat den Wert 38 die Summe aus allen Gliedern beträgt 500, die Differenz ist 1,5. Berechne die Anzahl der Glieder und das 1. Glied.

Meine Grundformel lautet

$\begin{eqnarray*} s=\frac{1}{2}*n(2*a_1+[n-1]*d) \end{eqnarray*}$

nun muss ich mir daraus eine Formel für meine Aufgabe herleiten, dabei habe ich schwierigkeiten!!

Gruß Kira

30.03.2006, 22:47

Teutone

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Hallo Kira, kein Problem.

Du willst also eine allgemeine Formel. Ich schlage vor, erstmal alle Formeln zu vergessen und sich das ganze einfach mal konkret vorzustellen:

Wir haben ja gegeben: $\begin{eqnarray*} a_n=38 \quad s_n=500 \quad d=1,5 \end{eqnarray*}$

Konzentrieren wir uns erstmal auf das zu suchende $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss man sich einfach mal vorstellen, wie denn diese Partialsumme zustande kommt.
Einfach mal aufschreiben und zwar bei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ anfangen:

$\begin{eqnarray*} 500=38+38-1,5+38-2\cdot 1,5 +38-3\cdot 1,5 + \ldots +38-(n-1)\cdot 1,5 \end{eqnarray*}$

Versuch diese Zeile mal zu verstehen (wirste ja wohl schaffen!), denn der Rest geht wie von selbst.

Jetzt verallgemeinern wir einfach die obige Zeile, wenn man sich folgendes verdeutlicht:

Das $\begin{eqnarray*} a_n=38 \end{eqnarray*}$ ist in ihr $\begin{eqnarray*} n\text{-mal} \end{eqnarray*}$ enthalten.
Die Differenz $\begin{eqnarray*} d=1,5 \end{eqnarray*}$ ist genau sooft enthalten, wie die Summe der natürlichen Zahlen von $\begin{eqnarray*} 1\text{ bis }(n-1) \end{eqnarray*}$ und diese Summe ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-n}{2} \end{eqnarray*}$ , das sollte man wissen, steht in jedem Tafelwerk und hab ich in nem vorherigen Beitrag schonmal erwähnt.

Jetzt haben wir also ganz einfach die allgemeine Formel: $\begin{eqnarray*} s_n=na_n-\frac{n^2-n}{2}\cdot d \end{eqnarray*}$

Diese kannst du dann nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umstellen und einsetzen und fertig.

Wenn dir das bis jetzt doch alles etwas zu suspekt war, dann kannst du auch einfach deine bekannten Formeln nehmen und stupide Umformen und Einsetzen. Du hast:

$\begin{eqnarray*} s_n=na_1+\frac{n^2-n}{2}\cdot d\text{ und } a_n=a_1+(n-1)d \end{eqnarray*}$

Auf die erste Formel kommst du einfach durch Ausmultiplizieren von: $\begin{eqnarray*} s_n=\frac{n}{2}\big( 2a_1+(n-1)d\big) \end{eqnarray*}$

Die 2. Formel stellst du nach $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ um und setzt sie in die erste ein. Per weiterer Umformung kommst du dann auf selbige Formel wie oben. Probiers aus!

Schreib dann deine Ergebnisse mal hier rein, damit ich sichergehen kann, dass alles stimmt... Lehrer

Lehrer

Big Laugh

01.04.2006, 18:32

Kira 007

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Hallo

danke für Deine Hilfe

die Reihe verstehe ich verstehe aber trotzdem nicht wie ich die Formel umformen kann damit ich n berechne.

$\begin{eqnarray*} s=\frac{1}{2}*n(2*a_1+[n-1]*d) \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

01.04.2006, 18:47

klarsoweit

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Wieso willst du jetzt n berechnen? Ich dachte, es ist n=52, oder nicht?

01.04.2006, 18:50

Kira 007

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Nein leider nicht

finde die Umforumung nach n und a1 irgendwie am schwierigsten
das ist die Aufgabe

Das letzte Glied einer arithmetrischen Folge hat den Wert 38 die Summe aus allen Gliedern beträgt 500, die Differenz ist 1,5. Berechne die Anzahl der Glieder und das 1. Glied.

Die Herleitung steht sogar bei mir im Script verstehe sie aber nicht!!

Gruß Kira

01.04.2006, 18:59

klarsoweit

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Drehe den Spieß doch um. Mache das letzte Glied zum 1. Glied, also a1 = 38 und d=-1,5. Dann kannst du aus der Summenformel das n bestimmen.

EDIT: eine etwas bessere Variante bzw. Herleitung ist weiter unten beschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.04.2006, 19:05

Kira 007

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Ja kann man auch daran habe ich noch gar nicht gedacht!!

Wie müsste ich denn dann am besten vorgehen.

Ich kenne die beiden weiß aber nicht genau wo da der Unterschied liegt

$\begin{eqnarray*} s=\frac{n}{2}*(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{n}{2}(2a_1+[n-1]*d \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

01.04.2006, 19:11

klarsoweit

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Die untere ergibt sich durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$ in die obere. Du mußt in diesem Fall die untere verwenden.

01.04.2006, 19:13

Kira 007

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Wie die ich auf die untere komme war mir schon klar, nun muss ich diese Formel nach n umstellen ?

gibt es überhaupt einen Unterschied zwischen den beiden Formeln

Ist bestimmt nicht einfach

Wie fange ich den an möchte auch nicht irgendwas was überhaupt nicht stimmt posten

Gruß Kira

01.04.2006, 19:56

klarsoweit

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Es gibt im Grunde nur einen optischen Unterschied. Mit beiden Formeln wird derselbe Sachverhalt ausgedrückt, nämlich die Summe der arithmetischen Reihe.

Wo ist denn jetzt das Problem? Nimm die untere Formel und setze die bekannten Werte ein.

01.04.2006, 20:00

Kira 007

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Das mache ich

also $\begin{eqnarray*} s_n=500,a_n=38,d=1,5 \end{eqnarray*}$ ist gegeben

das Problem liegt bei mir beim umformen was jetzt kommt nach dem einsetzen

$\begin{eqnarray*} s=\frac{n}{2}*(2a_1+[n-1]*1,5) \end{eqnarray*}$

Ok soweit so gut und nun?

01.04.2006, 22:43

klarsoweit

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Wir wollten den Spieß doch umdrehen, also:
$\begin{eqnarray*} s = 500, a_1 = 38, d=-1,5 \end{eqnarray*}$
Und jetzt einsetzen.

01.04.2006, 22:45

Kira 007

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Hupps sorry

$\begin{eqnarray*} 500=(2*38+[n-1]*(-1,5) \end{eqnarray*}$

Ok und nun gehts weiter nur wie ich muss die Gleichung doch nach n auflösen richtig

01.04.2006, 22:50

klarsoweit

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Da fehlt noch das n/2 davor und eine Klammer am Ende.
Dann nach n auflösen.

Falls dir das mit dem Spieß umdrehen nicht so zusagt, habe ich noch eine andere Idee:
Also wir haben:
$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{n}{2}*(a_1+a_n) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichung nach a_1 aufgelöst ergibt:
$\begin{eqnarray*} a_1 = a_n - (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$

Dieses in die Summenformel einsetzen, ergibt:
$\begin{eqnarray*} s_n = \frac{n}{2}*(a_n - (n-1) \cdot d +a_n) \end{eqnarray*}$

So, und alles einsetzen und nach n auflösen. Es läuft aber im Prinzip auf dasselbe hinaus. Ist vielleicht nur etwas einsichtiger.

01.04.2006, 22:59

Kira 007

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Ok ich setzte mal in die untere Formel ein

$\begin{eqnarray*} 500=\frac{n}{2}*(38-(n-1)*1,5)+38) \end{eqnarray*}$

Soweit verstanden!!

Soweit OK und nun nach n auflösen weiß jetzt nicht genau wie

Gruß Kira

01.04.2006, 23:02

klarsoweit

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Du mußt noch das s einsetzen. Und dann normal umstellen. Du kannst doch Gleichungen umformen, oder nicht?

01.04.2006, 23:04

Kira 007

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Nicht so gut den genau das ist mein eigentliches Problem an der Aufgabe

das einsetzrn alleine war ja nicht unbedingt schwer

Gruß Kira

01.04.2006, 23:10

klarsoweit

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Au wei. Gleichungen umformen ist das täglich Brot in der Mathematik. Da mußt du aber dringend einiges aufarbeiten.

Also: als erstes machst du mal die überflüssige Klammer hinter der 1,5 weg. Dann kannst du die 2 38er zusammenfassen. Und drittens mutliplizierst du die Gleichung mal mit 2, um die lästige Division durch 2 vor der Klammer wegzubekommen.

PS: mache jetzt Feierabend. Kann ein anderer weitermachen?

01.04.2006, 23:18

Kira 007

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Da hast Du natürlich recht das muss ich unbedingt lernen so schnell wie möglich ohne das geht wirklich nichts!!

Fallen die 38 nicht komplett weg lösen sie sich nicht irgeneinander auf

01.04.2006, 23:33

Teutone

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Hallo, erstmal schade, bis jetzt wurden nur Sachen aus meinem letzten Beitrag wiederholt. Ich würde mich freuen, wenn du ihn dir vielleicht nochmal anguckst. traurig

traurig

So egal, aber warum sollten die $\begin{eqnarray*} 38 \end{eqnarray*}$ wegfallen, sie werden einfach zu $\begin{eqnarray*} 38+38=2\cdot 38 \end{eqnarray*}$
Dann wird ausmultipliziert, so dass das $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ und die äußerste Klammer verschwindet. Zeig mal, welche Gleichung dann zunächst da stehen müsste.

01.04.2006, 23:35

Kira 007

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Mache ich doch kein Problem, können wir dann auch morgen weiter machen ist schon spät

nach dem zusammen fassen habe ich

$\begin{eqnarray*} 500=n*(72+72-2n-2)*3 \end{eqnarray*}$

01.04.2006, 23:48

Teutone

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Ich kann dir ehrlich gesagt, nicht ganz folgen.
$\begin{eqnarray*} 500&=&\frac{n}{2}\big(38-(n-1)\cdot 1,5+38\big) \\ 500&=&\frac{n}{2}\big(2\cdot 38-(n-1)\cdot 1,5\big) \\ 500&=&38n-\frac{n(n-1)\cdot 1,5}{2} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du weiter ausmultiplizieren, den Bruch "trennen" und musst dann ne quadratische Gleichung lösen.

01.04.2006, 23:53

Kira 007

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Ok die letzte Zeile habe ich noch nicht ganz verstanden

kannst Du mir die nocheinmal erklären?

Mache für heute Schluss

PS: Erst einmal Danke für Deine Hilfe

02.04.2006, 00:09

Teutone

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Kein Problem, liegt wahrscheinlich daran, dass die Umformung auch überflüssig war.
Also besser:
$\begin{eqnarray*} 500=\frac{n}{2}\big(2\cdot 38-(n-1)\cdot 1,5\big) \end{eqnarray*}$

Dann beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} 1000=n\big(2\cdot 38-(n-1)\cdot 1,5\big) \end{eqnarray*}$

Dann rechte Seite ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} 1000=2n\cdot 38-n(n-1)\cdot 1,5 \end{eqnarray*}$

Dann nochmal ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} 1000=76n-1.5n^2+1.5n \end{eqnarray*}$

Und Rest Kannst dir dann ja selbst überlegen. Das ganze ist allerdings sehr konkret und diese Umformungen lenken meiner Meinung anch auch von dem eigentlichen Verständnisproblem der Aufgabe ab. Dazu kann ich dir, wie gesagt, dann nochmal meinen Beitrag auf "Seite 2" ans Herz legen. Lehrer

Lehrer

Ansage

Augenzwinkern

edit: ich geh jetzt auch pennen --> pn gucken

02.04.2006, 00:11

Kira 007

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Ok die hab ich jetzt auch verstanden Danke Dir

wie gehts dann weiter ?

02.04.2006, 09:03

klarsoweit

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Irgendwie werde ich das Gefühl nicht los, daß du keine Lust hast, selbst die simpelsten Umformungen selbst zu machen. Fasse 76n und 1,5n zusammen und bringe die rechte auf die linke Seite.

Zitat:

Original von Teutone
Und Rest Kannst dir dann ja selbst überlegen. Das ganze ist allerdings sehr konkret und diese Umformungen lenken meiner Meinung anch auch von dem eigentlichen Verständnisproblem der Aufgabe ab.

Aber wenn es an elementaren Umformungen schon hapert, stellt sich die Frage, welchen Sinn es macht, sich intensiv mit arithmetischen oder geometrischen Folgen und Reihen zu beschäftigen. Das mathematische Handwerkszeug - und dazu gehört mehr als das kleine Einmaleins - muß man sicher beherrschen, sonst braucht man sich mit weiterführenden Dingen nicht herumschlagen. Das ist dann nur ein einziger Krampf.

02.04.2006, 14:00

Kira 007

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Ok habe die beiden n erst einmal zusammengefasst, kann ich da jetzt noch mehr zusammenfassen, die rechte auf die Linke Seite ?

Natürlich habe ich Lust wenn ich kein Interesse daran hätte könnte ich das ja auch sein lassen.
Und in meinem ganzen script steht nichts dazu bis auf die Formel die ich verwenden muss, nur was nutzt die mir wenn ich die Herleitung nicht verstehe

ich bemühe mich versprochen. habe aber im moment wirklich keine Idee wie ich nun weiter machen muss

$\begin{eqnarray*} 1000=76n-1,5n^2+1,5n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1000=77,5n-1,5n^2 \end{eqnarray*}$

02.04.2006, 17:57

Teutone

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Sagt dir die quadratische Lösungsformel, auch als "p-q-Formel" bezeichnet, etwas?
Um die anwenden zu können, erstmal alles auf die linke Seite bringen und durch $\begin{eqnarray*} 1.5 \end{eqnarray*}$ teilen, um den Faktor vor $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ zu beseitigen.

02.04.2006, 18:00

Kira 007

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ja Klar sagt mir was

das einigste Problem was ich mit der p und q Formel hätte ist, das ich nicht mehr weiß wie ich hier Wurzeln schreibe.

Kannst Du mir das nocheinmal verraten

Gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} 1000-77,5n+1,5n^2 \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis habe gerundet

x2= 26,56
x1=24,83

Was bedeutet das aber für meine das a1=24,83 und a2= 26,56 ist

und desweiteren

$\begin{eqnarray*} a_25=a_1+24*1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$

Also ist n= 25 und a1 =2

was ist aber mit der 26,56 denn bei der p und q kommen ja automatssich 2 Ergebnis raus.

Gruß Kira

02.04.2006, 19:36

gtfdgd

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dfgdfgfd
alles Falsch

02.04.2006, 19:37

Kira 007

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wie alles falsch traurig

traurig

geschockt

das kann gar nicht alles falsch sein es sei den mein Script ist auch falsch

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