komplexe Zahlen Wurzel ziehn

24.06.2008, 20:08	GaussianVictim	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Zahlen Wurzel ziehn hi, hab hier die komplexe Zahl $\begin{eqnarray} z1 = 1 - 5i \end{eqnarray}$ und ich soll $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{z1} \end{eqnarray}$ berechnen, aber grafisch. Die Überführung in die exponentialform habe ich, aber wie zeichne ich das ein bzw errechne wurzel 3 auf grafischen weg mit der gaußebene?
25.06.2008, 11:46	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Führt das hin?
25.06.2008, 16:47	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist für $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C^ \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} z=\|z\|\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ dem Argument von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Wenn du nun diese Zahl auf grafischen Wege suchst, musst du eine Zahl $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ so finden, dass $\begin{eqnarray} z^3=1-5i \end{eqnarray}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray} \|z\|^3\cdot e^{i3\phi}=1-5i \end{eqnarray*}$ Nun kannst du suchen [Vektorinterpretation einer komplexen Zahl!]
25.06.2008, 18:32	GaussianVictim	Auf diesen Beitrag antworten »
hm,... @system-agent kann dir gedanklich nicht ganz folgen was ich tun muss für die grafische lösung? das ganze rechnerisch hab ich schon gelöst, aber ich versteh halt nicht wie ich die exponentialform als Vektor interpretieren soll.
25.06.2008, 19:59	outSchool	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te Wurzel $\begin{eqnarray} \text{Für alle } z\in\mathbb C^ \text{ gilt } z=\|z\|\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{z} =\sqrt[n]{\|z\|}\cdot e^{i\cdot \frac{\varphi+2k\pi}{n}} \hspace{1cm} \text{(k = 0, 1, ... n - 1)} \end{eqnarray}$ In deinem Fall gibt es also 3 Lösungen. Geometrisch ändert sich der Betrag \|z\| um die dritte Wurzel, die 3 Lösungen teilen den Einheitskreis in 3 gleiche Teile. Die erste Lösung ist bei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , die zweite bei $\begin{eqnarray} \varphi + \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray}$ und die dritte bei $\begin{eqnarray} \varphi + \frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$
26.06.2008, 09:55	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Exponentialform soll dir nur zeigen was passiert wenn man die dritte Potenz einer komplexen Zahl nimmt: Der Betrag geht in die dritte Potenz und das Argument wird verdreifacht. Wenn du dir nun die gegebene Zahl $\begin{eqnarray} 1-5i \end{eqnarray}$ als Vektor einzeichnest und ihren Betrag sowie ihr Argument ausrechnest, suchst du also eine Zahl, deren Betrag lediglich $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{\|1-5i\|} \end{eqnarray}$ ist und deren Argument ein drittel des Arguments von $\begin{eqnarray} 1-5i \end{eqnarray}$ ist.
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