Mathevortrag

27.03.2006, 19:21

Gregor Samsa

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Mathevortrag

Hallo.
Wir sollen in Mathe einen Vortrag machen, bzw. eine Aufgabe an der Tafel vorrechnen und auch Zusatzwissen aufweisen. Einiges bei der Aufgabe kann ich auch selber, aber muss heute erstmal Sozialkunde machen. Stelle die Aufgabe heute aber schonmal so ein, weil ich Freitag den Vortrag machen muss.

Gegeben ist ein gewöhnliches Koordinatensystem mit den Achsen X,Y,Z und den Punkten A (6,2,-2), B (1,2,-2), C (1,-2,1) und D (6,-2,1).

a) Stellen Sie die Normalengleichung der Ebene E auf, die die Punkte A, B und D enthält.
b) Zeigen Sie, dass der Punkt C ebenfalls in Ebene E liegt.
c) Zeigen Sie, dass das Raumviereck ABCD ein Parallelogramm ist.
d) Prüfen Sie, ob es sich bei dem Parallelogramm ABCD aus c) um eine Raute oder sogar einem Quadrat handelt.
e) Gesucht ist der Diagonalenschnittpunkt P des Vierecks ABCD. Unter Welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen?
f) Der Punkt S (5;3;3,5) sei die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD. Wo liegt der Höhenfußpunkt F der Pyramide? Fertigen Sie ein Schrägbild der Pyramide an.
g) Die Ebene F1 und F2 in Koordinatenform an.
h) Der Punkt T sei ein weitere Punkt auf der geraden g durch F und S aus f). Wie muss T gewählt werden, wenn die Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze T ein Volumen von 125 VE (Volumeneinheiten) besitzen soll?
i) Der Punkt R sei ein Punkt der Strecke AB. Eine Ebene durch die Punkte S, D und R teilt die Pyramide im Verhältnis 1:2. Bestimmen Sie R.

27.03.2006, 19:33

aRo

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Zitat:

Einiges bei der Aufgabe kann ich auch selber, aber muss heute erstmal Sozialkunde machen.

welche kannst du denn selbst und bei welchen brauchst du hilfe?

27.03.2006, 21:46

Gregor Samsa

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Sagen wir mal a bis d kann ich selber.

27.03.2006, 23:23

Ace Piet

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(OT)
> aber muss heute erstmal Sozialkunde machen.
...
> Stelle die Aufgabe heute aber schonmal so ein, weil
> ich Freitag den Vortrag machen muss.

Spezialgebiet WiWi??!
HA HA HA!

> Sagen wir mal a bis d kann ich selber
Bei guter Bearbeitung eine 5 - 6...

=> Gängiger WiWi: Weiß nix, kann nix, aber delegiert wie Angela...

Prost

Prost

28.03.2006, 10:57

riwe

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RE: Mathevortrag
g) ???
e - h) eigene gedanken?
werner

30.03.2006, 19:37

Gregor Samsa

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Natürlich bin ich in Mathe dumm wie Brot, aber ist das nen Grund mir die Aufgaben nicht zu beantworten?
@ Wernerin: Danke für das Bild

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30.03.2006, 19:50

riwe

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wir sind aber auch nicht dazu da, dir die arbeit abzunehmen!

wir helfen dir gerne, aber stelle doch mal deine eigenen ergüße hier rein!
noch einmal: was bedeutet g?
werner

30.03.2006, 20:11

Gregor Samsa

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Ich schätze mal, dass man bei g) 2 Ebenen in Parametergleichung angeben soll.

02.04.2006, 17:19

Gregor Samsa

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So, habe mal Zeit gehabt und a bis d gemacht. Sagt mir mal, ob es richtig ist.

a) E(ABD) = A + r x AB + s x AD
E = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-6 \\ 2-2 \\ -2+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-6 \\ -2-2 \\ 1+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
E = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

n = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalenform von E = [x - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ] mal (Skalarprodukt) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) C liegt in E(ABD)

C = A + r x AB + s x AD
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 - 5r \\ 2 - 4s \\ -2 +3s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt s=1 und r=1 und C liegt in E(ABD)

c) gAB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 - 6 \\ 2 - 2 \\ -2 + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gAB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gDC= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 - 6 \\ -2 + 2 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

u = k x v
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = k x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ --> k = 1

Daraus folgt, dass gAB und gDC parallel sind

bei gBC und gAD klappt es auch, weil da u = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und v = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so dass k = 1 --> gAD und gBC sind parallel --> ViereckABCD ist parallel

d) |AB| = | $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ LE
|CD| = | $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ LE
|AD| = | $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ LE
|BC| = | $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ | = $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ LE

--> Raute

wenn, winkel Alpha (AD und AB) und Winkel Beta (AB und AC) 90°, dann ist ABCD ein Quadrat.

kann jetzt die rechnung hier aufzeigen, aber jedenfalls sind beide Winkel 90°, da der cos0 = 0 durch die Wurzel aus 25 mal 25

02.04.2006, 18:31

riwe

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wenn zum teil auch ziemlich umständlich gerechnet, ist soweit richtig.
anzumerken ist, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt{25} =5 \end{eqnarray*}$ .
dass 2 vektoren senkrecht aufeinander stehen, zeigt man üblicherweise mit dem skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0 \end{eqnarray*}$ .
dass das viereck ein parallelogramm ist, dazu genügt es zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=\pm \overrightarrow{CD} \end{eqnarray*}$ .
zu e) $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ , und den winkel, den sie einschließen, zu ermitteln, sollte kein problem sein.
zu f - h) warte ich auf deine ideen.
werner

und eine anmerkung: das ist keine gute einleitung: so, habe mal zeit gehabt....
ich denke, das ist doch deine aufgabe, bei der wir dir helfen sollen, und nicht umgekehrt.

03.04.2006, 20:56

Gregor Samsa

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Zitat:

und eine anmerkung: das ist keine gute einleitung: so, habe mal zeit gehabt....
ich denke, das ist doch deine aufgabe, bei der wir dir helfen sollen, und nicht umgekehrt.

stimmt.

Bei P bin ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3,5 \\ 0 \\ -0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen.

03.04.2006, 21:28

Gregor Samsa

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Also bei f) muss die Gerade gFS orthogonal zur Ebene E(ABCD) sein.

Das heißt, dass Skalarprodukt aus gFS und E ist 0. Komme damit aber auch nicht weiter.

03.04.2006, 22:16

Poff

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P stimmt.
Den kannst umständlich ermitteln als Schnittpunkt von
AC und BD, oder einfacher als Mittelpunkt einer dieser Strecken.

f) Normale zu ABCD-Ebene durch S legen und dann die Gerade
mit ABCD-Ebene schneiden, oder entsprechend.
Übers Vektorprodukt kommst zu der Normalen

04.04.2006, 19:25

Gregor Samsa

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Kann es sein, dass F bei Aufgabe f) P ist und ich versuche nachzuweisen, dass gPS orthogonal zur Ebene E(ABCD) ist.

Zitat:

f) Normale zu ABCD-Ebene durch S legen und dann die Gerade
mit ABCD-Ebene schneiden, oder entsprechend.
Übers Vektorprodukt kommst zu der Normalen

Wie meinst Du das?

04.04.2006, 19:59

riwe

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F <> P
mache es wie von Poff beschrieben.
ergänzung: du hast ja bereits die ebene ABCD in normalvektorform berechnet unter a) zur erinnerung
E: 3y + 4z = -2, damit hast du schon den benötigten vektor.
werner

04.04.2006, 20:12

Gregor Samsa

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Ich habe die den Normalenvektor von Ebene ABD berechnet, nicht von Ebene ABCD

04.04.2006, 20:38

Poff

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Haben die verschiedene Normalen ?
Ebene ABCD, denk mal nach was da drin ist.

04.04.2006, 20:40

riwe

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???
teil b) zeigen sie, dass der punkt C in der ebene ABD liegt!
wie lautet denn dein normalenvektor?
werner

04.04.2006, 21:04

Gregor Samsa

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Ja, in der Ebene ABCD ist die Ebene ABD, also ist der Normalenvektor gleich.

04.04.2006, 21:12

riwe

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nachdem wir uns nun einig sind, dass die ebene ABCD identisch mit der ebene ABD ist, wo hast du denn gerade probleme?
werner

04.04.2006, 21:35

Gregor Samsa

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Nur noch bei Aufgabe h)

04.04.2006, 21:47

Poff

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Nimm folgende Gerade g

g: T = F+t*(S-F)/|S-F|

dann kannst das Volumen der Pyramide über G*h ermitteln,

oder betrachtest die einfachere Form

g': T = F + t*(S-F)

dann hast's beim Volumen einen Schritt komplizierter.

05.04.2006, 08:30

Gregor Samsa

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Also heim Höhenfußüunkt F in Aufgabe f) habe ich F(5/0/-0,5) raus.

So, ich habe heute meinen Vortrag. Vielen Dank an euch, vielen Dank für die Mühe.
Freude

Freude

05.04.2006, 08:55

riwe

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ist rixhtig
viel glück und erfolg
werner

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