Integralkriterium zu x*exp(-x²) |
| 25.06.2008, 10:00 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Integralkriterium zu x*exp(-x²) folgendes Problem, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen: gegeben ist die Reihe [ k * exp(-k²)] k=1-unendlich Man soll beweisen das diese Rehie konvergent ist. Nun das macht man mit dem Integralkriterium, d.h. diese Reihe konvergiert wenn das zugehörige Integral konvergiert -> Integral [ x * exp(-x²) dx] von 1 bis unendlich Nur wie zum Geier kann ich diese Funktion Integrieren? Methoden sind mir klar (Partiell oder Substitution etc) nur is immer dan Problem da, dass ich net weiß wie man dieses exp(-x²) integriert... Wäre Top wenn mir einer helfen könnte. Lg Alex |
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| 25.06.2008, 10:07 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
des zufall, dass des was von der form: mit is? was is nun ne stannfunktion? |
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| 25.06.2008, 10:11 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke Ja, also beabsichtigt ist das glaube ich net. Vielleicht könnte mir einer erklären wie man dieses exp(...) im allgemeinen Integriert oder was es da für Tricks gibt es umzuwandeln, das würde mir schon sehr helfen |
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| 25.06.2008, 10:43 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da gibt es kein Patentrezept. Vom analytischen Standpunkt ist zwar eins meist klar: eine Stammfunktion existiert wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Aber für exp(-x^2) zum Beispiel kann man sogar zeigen, daß keine Darstellung einer solchen Stammfunktion in sogenannter "geschlossener Form" existiert. Es wird kein Zufall sein, daß die Übungsaufgabe gerade so gestellt ist, daß du über die Substitutionsregel das Integral lösen kannst. Bestimmt zielt sie darauf ab, daß du die Anwendung des Integralkriteriums übst, und nicht, daß du dich mit nicht geschlossen darstellbaren Funktionen rumschlägst. |
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| 25.06.2008, 11:47 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay danke schonmal soweit. Dann ist es aber doch ein kleines Problem solche Funktionen zu Substituieren: Ausgangssituation: Integral [ x * exp(-x²) dx Was Substituiere ich hier? Beispiel: z= -x² -> z' = -2x dz/dx = -2x -> dx = 1/-2x dz z = -x² -> -z = x² das wird schon ziemlich unfein, denn man müsste hier ja schon unterscheiden weil z < 0 sein muss ansonsten gehts nicht. Weiter ist das Problem wenn ich sage x = Wurzel(z) für z <= 0 das das Integral so aussieht: Integral [ Wurzel(z) * exp(z) * 1/(-2*Wurzel(z) dz] = Integral [ exp(z)/(-2) dz] Hier wiederum stehe ich vor dem Problem die Stammfunktion von exp(z)/-2 zu finden.... Außer es gilt exp(z) ist konstant -> dem ist nicht so exp(z) geht entdweder für z-> unendlich oder z-> 0 auf einen Konstanten Wert. Dies kann ich leider nicht beantworten, da ich noch kein einziges mal mit exp() gearbeitet habe, außer bei der Dichtefunktion der Normalverteilung |
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| 25.06.2008, 11:51 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nochmal, sorry, ich sehe ich habe oben einen Fehler gemacht, natürlich substituiert man z = x² und nicht z = -x² Das führt aber zum selben Problem: Ergebnis wäre ja: Integral [ exp(-z)/-2 dz ] Hierzu hab ich wieder keine Ahnung wie es weitergehen soll |
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| 25.06.2008, 11:52 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nicht dein Ernst, oder? Der konstante Faktor -1/2 kann dich doch nicht derart irritieren! |
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| 25.06.2008, 11:54 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
edit: eingefügt edit die zweite: warum schätzt du die ursprüngliche reihe nicht einfach mit ner konvergenten majorante ab? für alle natürlichen k bis auf endlich viele? |
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| 26.06.2008, 07:24 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Konstante Faktor -2 irritiert mich nicht, ich könnte ihn ja theoretisch auch vor das Integral schreiben... Ich hab einfach meine Probleme mit exp(z), wie oben schon erwähnt habe ich keine Ahnung wie man diese exp Fkten integriert... |
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| 26.06.2008, 07:52 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der konstante Faktor ist zunächst mal nicht -2, sondern -1/2. Kennst du denn die tolle Eigenschaft der e-Funktion bezüglich ihrer Ableitung? Daraus kannst du doch sofort auch schließen, was dann die Stammfunktion ist. air |
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| 26.06.2008, 14:28 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte e^y ist ungleich exp(y) ?!?! Denn wenn dem nicht so ist, dann ist die Aufgabe ja easy Wie gesagt, Stammfunktion finden, Integralkriterium etc alles nicht dramatisch. Mir geht es einzig und allein um das exp(-x²) Kann ich sagen exp(-23x) = e^(-23x) ? Ich dachte immer exp() bezieht sich auf irgendeine andere Basis (siehe log und ln...) |
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| 26.06.2008, 15:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach daher der Irrtum. Nein, beides sind nur unterschiedliche Schreibweisen für ein und dasselbe: Die zweite Schreibweise findet häufig dann Verwendung, wenn der Exponent "etwas ausgedehnter" ist, womöglich mit Brüchen usw. Dann ist das nämlich etwas besser lesbar: |
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| 26.06.2008, 16:36 | Alex04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, mein Gott. Manchmal hab ich echt ein mega Brett vorm Kopf :-D Besten Dank an euch, jetzt ist alles klar :-D Vlg Alex |
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