Probleme bei der Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten

28.03.2006, 12:38	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme bei der Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten Hallo Leute, ich beschäftige mich gerade mit der Stochastik Vorlesung aus dem vergangenen Sommersmester. Beim Thema Markov-Ketten bin ich auf eine Übungsaufgabe gestoßen, zu der ich keine Musterlösung habe. Diese würde ich gerne hier mit euch diskutieren, besonders weil ich da ein paar Problemchen habe. Der Aufgabentext ist relativ lang, aber die Übungsblätter sind noch im Netz, deshalb gebe ich einfach mal den Link an. Es geht um: Blatt 6, Aufgabe 1 (pdf) Diese nimmt Bezug auf: Blatt 5, Aufgabe 4 (pdf) Meine Überlegungen dazu sehen wie folgt aus: Als Messraum E definiere ich $\begin{eqnarray} E = \{ a,A\}^2 \end{eqnarray}$ Dabei steht sowohl $\begin{eqnarray} (a,A) \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} (A,a) \end{eqnarray}$ für das Gen $\begin{eqnarray} aA \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} (\chi_{n})_{n \in I} \end{eqnarray}$ ein stochastischer Prozess, das heißt eine Familie von Zufallsvariablen. Jetzt soll ich doch, mal ganz allgemein formuliert, $\begin{eqnarray} P(\chi_{2} = a_{i} ~\|~ \chi_{1} = a_{j}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a_{i}, a_{j} \in E \end{eqnarray}$ bestimmen. Das heißt die Wahrscheinlichkeit, dass zum Beispiel das Ereigniss "die erste Nachkommengeneration hat das Gen AA" unter der Bedingung "die "Mutterpflanze" hat das Gen aA" eintritt. Gut. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray} a_{i} = (x_{1},x_{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{j} = (y_{1},y_{2}) \end{eqnarray}$ Dann bilde ich doch einfach $\begin{eqnarray} V := \{y_{1},y_{2}\}^{2} \end{eqnarray}$ und bestimme die Wahrscheinlichkeit das ein zufällig gewählter Vektor aus $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ ist. Nun gelingt es mir aber nicht, diesen Sachverhalt mathematisch zu formalisieren. Zum Beispiel finde ich keine Zufallsvariablen, die ich konkret angeben könnte. Kurz gesagt: Ich kann nur sagen "das ist so", mir fehlt irgendwie der logische Schluss. Ich hoffe ihr könnt mir damit weiterhelfen und schonmal Danke an jeden, der sich Gedanken zu diesem Problem macht. EDIT: Um mein Problem nocheinmal zu konkretisieren. Ich will sowas haben: $\begin{eqnarray} P(\chi_{2} = AA ~\|~ \chi_{1} = aA) = ... = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Das ist es, was ich einfach nicht hinkriege.
04.04.2006, 15:14	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme bei der Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten Eine Möglichkeit bei Aufgabe 1 wäre es die Zuhilfenahme der Gleichung von Chapman-Kolmogorow. Ist dir diese bekannt? Edit: Unter Umständen könnte es aber auch ausreichen, die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten aufzustellen, denn damit und der Anfangsverteilung ist ein Markov-Prozess ja vollständig charakterisiert.

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