Frage zu Umformung

25.06.2008, 14:21

Felix

Frage zu Umformung

Könnte mir jemand folgenden Rechenschritt erläutern ?

Aus $\begin{eqnarray*} (\vec{b} \vec{c} )² \end{eqnarray*}$ wird 1/4(b² + c² - a²)².

Wäre sehr dankbar für Hilfe =).

lg Felix

25.06.2008, 14:24

tmo

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Ich nehme mal stark an, es geht um ein rechtwinkliges Dreieck und daher gilt $\begin{eqnarray*} \vec{c}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 \end{eqnarray*}$

25.06.2008, 14:27

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Nein, rechtwinklig muss das Dreieck nicht notwendig sein. Einfach

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} \pm \vec{c} \end{eqnarray*}$

quadrieren, nach $\begin{eqnarray*} \vec{b}\cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ umstellen und nochmal quadrieren.

25.06.2008, 14:32

Felix

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Ich glaube nicht. dass es sich dabei um ein rechtwinkeliges Dreick handelt.
Diese Umformung soll nähmlich angeblich über den Cosinussatz funktionieren und wird gemacht um die Heronsche Flächenformel aus der vektoriellen Flächenf. herzuleiten.

Ich wüsste auch nicht inwiefern mir der Phytagoras hilft mit diesem skalar Produkt.

verwirrt

25.06.2008, 14:32

tmo

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Stimmt, da war ich etwas voreilig.

25.06.2008, 14:38

Felix

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[ $\begin{eqnarray*} (\vec{a} + \vec{c}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\vec{b} - \vec{a}) \end{eqnarray*}$ ]² und wie komm ich jetzt weiter ???

25.06.2008, 14:40

tmo

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Einfach

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} \pm \vec{c} \end{eqnarray*}$

quadrieren,

Bedeutet (für plus):

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2 = (\vec{b} + \vec{c})^2 \end{eqnarray*}$

Rechts nun die binomische Formel anwenden und dann den weiteren Anweisungen von Arthur Dent folgen.

25.06.2008, 14:43

Felix

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ich hab aber nirgends ein binom sondern nur ein skalar Produkt $\begin{eqnarray*} (\vec{b} \vec{c} )² \end{eqnarray*}$

25.06.2008, 14:44

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Zitat:

Original von tmo
und dann den weiteren Anweisungen von Arthur Dent

Vorschläge, nicht Anweisungen smile

25.06.2008, 14:46

tmo

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Du begehst gerade den oft begangenen Fehler bei einem Beweis bei dem zu beweisenden anzufangen. Das kann manchmal hilfreich sein um eine Beweisidee zu bekommen, aber letztendlich muss man mit wahren Aussagen anfangen und daraus die Behauptung folgern.

Und da wir uns in einem Dreieck befinden, ist $\begin{eqnarray*} \vec{a}^2 = (\vec{b} + \vec{c})^2 \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage. Und da steht jetzt offensichtlich ein Binom.

25.06.2008, 14:51

Felix

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Mein Problem ist aber das ich in diesem Fall nicht weiß was ich mit dieser Aussage anfangen soll verwirrt

wie soll ich mit Hilfe dieser Gleichung bei $\begin{eqnarray*} (\vec{b} \vec{c} )² \end{eqnarray*}$ weiterkommen

25.06.2008, 14:55

tmo

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Multipliziere doch bei dieser Gleichung mal die rechte Seite aus (das Stichwort dafür ist jetzt schon desöfteren gefallen). Wie es dann weitergehen kann, hat Arthur Dent doch schon geschrieben.

25.06.2008, 15:11

Felix

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Ok, klar ... Danke smile

Aber so bin ich von der rechten auf dich linke Seite gekommen, ich wollte es eigentlich umgekehrt, was angeblich über den Cosinussatz funktionieren soll.

25.06.2008, 15:57

Felix

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Ok ich nehme an, das funktioniert dann so :

$\begin{eqnarray*} (\vec{b} \vec{c} )² \end{eqnarray*}$ = (bc * cos(b,c))

Das dann in den Kosinussatz eingesetzt führt zur rechten Seite ...

Kann ich das so machen ???

lg Felix

25.06.2008, 16:05

tmo

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Man braucht dazu keinen Kosinussatz.

Gehen wir von $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} \end{eqnarray*}$ aus.

Dann ist

$\begin{eqnarray*} (bc)^2 = \frac{1}{4}(b(-2c))^2 = \frac{1}{4}(b(-c+b-a))^2 = \frac{1}{4}(b^2-b(c+a))^2 = \frac{1}{4}(b^2+(c-a)(c+a))^2 = \frac{1}{4}(b^2+c^2-a^2)^2 \end{eqnarray*}$

25.06.2008, 16:21

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Weil ich schon die Frage höre "Wie kommt man auf diese Einsetzschritte?", hier nochmal etwas von der anderen Seite aufgezäumt (ich lass auch mal der Einfachheit halber die Vektorenpfeile weg):

$\begin{eqnarray*} a=b+c \end{eqnarray*}$ ergibt quadriert (d.h. Skalarprodukt mit sich selbst) $\begin{eqnarray*} a^2=b^2+2(b\cdot c)+c^2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt dann

$\begin{eqnarray*} -2(b\cdot c) = b^2+c^2-a^2 \end{eqnarray*}$ .

Dies erneut quadriert (diesmal reelle Zahlen) führt zu

$\begin{eqnarray*} 4(b\cdot c)^2 = (b^2+c^2-a^2)^2 \end{eqnarray*}$ ,

was nach Division durch 4 der Behauptung entspricht.

25.06.2008, 17:31

Felix

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Danke

@ Arthur

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=b+c \end{eqnarray*}$ ergibt quadriert (d.h. Skalarprodukt mit sich selbst) $\begin{eqnarray*} a^2=b^2+2(b\cdot c)+c^2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt dann ...

Was meinst du mit Skalarprodukt ?

lg

25.06.2008, 18:23

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Zitat:

Original von Felix
Was meinst du mit Skalarprodukt ?

Was glaubst du wohl, ist $\begin{eqnarray*} \vec{b}\cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ in der nachzuweisenden Gleichung???

Manche Fragen lassen mich einfach fassungslos zurück. unglücklich

26.06.2008, 19:58

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Manche Fragen lassen mich einfach fassungslos zurück. unglücklich

Tja, da erklärt man einem den Residuensatz, und nach einem Tag fragt der, was eigentlich ein Kurvenintegral sei ...

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