MatheLK Klausur Problem mit linearer (Un)Abhänigkeit

28.03.2006, 15:53

Simeon

MatheLK Klausur Problem mit linearer (Un)Abhänigkeit

Hi Leute,
ich schreibe am Donnerstag eine MatheLK Arbeit und habe Probleme mit linearer (Un)Abhänigkeit. Uns wurde gesagt Vektoren sind dann linear Abhänig, wenn die Determinante gleich 0 ist.
Nun haben wir z.B. die Aufgabe bekommen:
Begründe zeichnerisch, dass die Vektoren u, v, w voneinander linear abhänig sind:
a) $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} v=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} w=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann hat der als Lösung dazu eine Zeichung gemacht ind er man erkennt, dass u + v = w.
ABER:
Wenn ich die Determinante berechne komme ich immer auf 5 und da 5 != 0 müssten die doch linear unabhänig sein verwirrt

Kann mir das mal jemand bitte erklären?

Und dann mein zweites Problem:
Die Vektoren u, v, w bilden eine Basis.
Stelle den Vektor a $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von u,v,w dar.
d) $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} v=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} w=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Antwort lautet:
a=1/2*u+19/18*v+8/9*w
Sowas sieht der Neuling wohl nicht gerade aus dem Kopf, daher wollte ich mal nachfragen, wie man sowas berechnet. Habe nicht die geringste Ahnung.

Bin für jede Hilfe/Erklärung dankbar!

mfg
Simeon

28.03.2006, 15:56

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

was soll den das heißen? determinante von vektoren?! determinanten gibts nur von matrizen. vektoren sind linear unabhängig, wenn sie sich nur trivial linear kombinieren lassen, das heißt, nur die 0-Lösung eine Lösung für eine Linearkombination ist.

zu d): stelle ein LGS auf:

$\begin{eqnarray*} a_1*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} a_2*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} a_3*\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und löse es.

mfG 20

28.03.2006, 16:02

Simeon

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit d) ist ne super Idee danke.

Ja Determinanten gibts nur in Matrizen, aber wir haben dann einfach aus 2 Vektoren eine Matrix gemacht.
Z.B.
Sind u und v voneinander linear unabhänig?
$\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} v=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann machten wir:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
D= 5 != 0 daraus folgt: u und v sind linear unabhänig.

28.03.2006, 16:09

Denjell

Auf diesen Beitrag antworten »

ja du zeigst damit aber das 2 der Vektoren linear unabhängig sind, es existiert jedoch immernoch die möglichkeit aus der Kombination von 2 Vektoren den 3. zu erhalten, somit linear abhängig.

$\begin{eqnarray*} a_1*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + a_2*\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + a_3*\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

löse das gleichungssystem, kommt ausser der lösung $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray*}$ noch ne andere Lösung raus, dann sind sie lin. abhängig

28.03.2006, 16:10

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

das geht aber nur, wenn du n n-dimensionale vektoren hast, bei 3 2-dimensionalen tuts das nicht mehr... da musste den linearkombinationsansatz machen.
mfG 20

28.03.2006, 16:17

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass du nur von quadratischen Matrizen die Determinante bestimmen kannst - also wenn du Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray*}$ musst du auch zwei Vektoren in deine Matrix stecken.
Generall kannst du sagen, dass im $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray*}$ 3 Vektoren immer linear abhängig sind - also wenn du mehr Vektoren hast als die Dimension ist sind die immer linear abhängig!

Die Frage ist aber was dahinter steckt und das habt ihr wahrscheinlich nicht gelernt.
Ein System von Vektoren bezeichnet man als Linear Abhängig, wenn man einen Vektor als Linearkombination der anderen darstellen kann...
wenn das nicht geht sind die Vektoren linear unabhängig.

Wenn du die Determinante ausrechnest überprüfst du genau das...

Die Einträge einer Matrix kann man ja als Koeffizienten eines LGS auffassen...

nehmen wir mal

$\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} w = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

man sieht ja schon, dass die linear abhängig sind, aber mal mit der Determinante:

Du schmeißt ja jetzt alles in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und berechnest davon die Determinante.

Aber A bedeutet ja, ob folgende Gleichung eine Lösung hat:

$\begin{eqnarray*} i*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + j*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

naja, und wenn die Gleichung eine Lösung hat, kannst du ja den einen Vektor als Linearkombination der anderen darstellen. Die Vektoren sind also linear abhängig.

hat die Gleichung keine Lösung sind sie linear unabhängig.

und wenn die Determinante von A = 0 ist heißt das ja, dass es keine Lösung für die Gleichung gibt, also die Vektoren linear unabhängig sind.

28.03.2006, 16:18

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

das geht aber nur, wenn du n n-dimensionale vektoren hast, bei 3 2-dimensionalen tuts das nicht mehr... da musste den linearkombinationsansatz machen.

Oder man zeigt, das wenn man mehr Vektoren als die Dimension hat das dann automatisch lineare Abhängigkeit folgt. Für Koordinatenvektoren, also Vektoren mit Zeileneinträgen aus R gilt das wenn Du mehr Vektoren als Zeilen hast sind sie automatisch linear unabhängig.

28.03.2006, 18:22

Simeon

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antworten, nun habichs verstanden! Tanzen

Aber ein Problem hab ich da noch:

Gegeben ist dieses Tetraeder:

http://www.ppc-zone.de/tetra.bmp

Welche 3 Vektoren sind voneinander linear abhänig, welche drei sind voneinander linear unabhänig?

Da wird gesagt:
Abhänig sind:
abf oder acd oder bcd

Erstmal denke ich, dass ist ein Tipfehler, weil bcd sind doch unabhänig oder?
Ich denke das soll bed heißen. Und zweitens sind doch cef auch abhänig oder? Denn c+e=f.

Und es wurde gesagt:
Linear unabhänig seien:
abc, abd und abe

Aber ich denke hier sind wesentlich mehr unabhänig, es sind doch auch:
fbd, afd, bfc, afc, bfe, afe unabhänig oder nicht?

Da bitte ich nochmal um Klärung, weil das verwirrt mich imoment noch ziemlich.

EDIT:
Hab ne Mail an meinen Lehrer geschrieben und das Problem gelöst:
Hallo Simeon,

erst mal vorweg: die Lösungen sind aus dem Lösungsheft kopiert, das
Lehrer sich sündhaft teuer zum Schulbuch dazu kaufen können. Ich ärgere
mich inzwischen darüber, weil ich schon soviel Fehler in diesem
Lösungsband gefunden habe, dass ich inzwischen doch jede Aufgabe
nachrechnen muss (seltsamer Weise ist das eine Eigenart von
Lösungsbüchern: Für das Physikbuch gilt das gleiche). Bei genau dieser
Aufgabe habe ich die Kontrolle offenbar nicht genau genug durchgeführt.
Du hast recht, b c und d sind linear unabhängig. Vermutlich wollte der
Verfasser b e d schreiben.

Du hast auch recht, dass es noch mehr abhängige und unabhängige
Kombinationen gibt. In der Aufgabe steht allerdings auch nicht "finde
alle Basen ...". Man hätte, der Symmetrie wegen, ja auch fragen können,
"finde alle Basen, in denen der a-Vektor enthalten ist", das wäre besser
gewesen. Aber wie gesagt, die Aufgabe habe ich so aus dem Buch übernommen.

Ich hoffe, ich habe deine Verwirrung hiermit lösen können.

Schöne Grüße

Neue Frage »

Antworten »

MatheLK Klausur Problem mit linearer (Un)Abhänigkeit

Verwandte Themen