Bedeutung von "Notwendige Bedingung"

28.03.2006, 17:27

Gastposter

Bedeutung von "Notwendige Bedingung"

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Wir haben in der Schule folgendes aufgeschrieben:

Kriterium für die Untersuchung einer Funktion f auf Monotonie:

Gf heißt streng monoton wachsend, wenn gilt:

f'(x) > 0 für alle x € I

monoton wachsend, wenn gilt

f'(x) > 0 für alle x € I
......= (größer gleich soll das heißen)

Dieses Kriterium ist notwendig, d.h. ist f'(x) nicht größer als Null, so heißt dies nicht, dass keine strenge Monotonie vorliegt (z.B. x³)

Dann haben wir noch dabei aufgeschrieben (für das x³):

f(x) = x³
f'(X) = 3x²

f'(0) = 0

Nun meine Fragen:

1) Bei Wikipedia habe ich gelesen, dass ein notwendiges Kriterium bedeutet, dass das Kriterium erfüllt sein muss, damit der Sachverhalt überhaupt gelten kann, woraus aber nicht "automatisch" der Sachverhalt folgt.

Widerspricht sich das nicht eigentlich mit dem von uns in der Schule Aufgeschriebenen?

2) Ist f(x) = x³ nun streng monoton wachsend oder nicht?

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Grüße

28.03.2006, 17:34

Trivialmensch

Auf diesen Beitrag antworten »

Also f(x)= $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist definitiv streng monoton steigend, dass hab ich so gelernt bekom und immerhin war das vor 2/3 Wochen...also kann ich mich nicht irren!
Aber bei deiner ersten Frage kann ich dir nicht helfen...
Ich betrachte Funktionen immer ganz spezifisch...

28.03.2006, 17:41

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

1) Bei Wikipedia habe ich gelesen, dass ein notwendiges Kriterium bedeutet, dass das Kriterium erfüllt sein muss, damit der Sachverhalt überhaupt gelten kann, woraus aber nicht "automatisch" der Sachverhalt folgt.

für durchgängige Funktionen ist f'(x)>0 schon ein HINREICHENDES Kriterium für strenge Monotonie.
Es ist eben NICHT notwendig, wie f(x)=x^3 beweist.

durchgängig heißt dabei insbesondere, dass es keine Def-Lücken hat, wie f(x)=1/x (mit f'>0 auf dem ganzen Defbereich) als Gegenbeispiel sonst beweist.
Damit wären wir übrigens wieder beim NOTWENDIGEN Kriterium (für beliebige Funktionen), dass da f'(x)>=0 heißt.

Dieser Beitrag wurde editiert, vielen Dank auch an Ace Piet, der mich da auf Fehler aufmerksam gemacht hat.
Das die Funktion überall diff'bar (und damit stetig) ist, muss natürlich vorausgesetzt sein, sonst kann eine Bedingung mit f' gar nix.

28.03.2006, 23:24

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Titel geändert

29.03.2006, 15:19

Gastposter

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LOED

für durchgängige Funktionen ist f'(x)>0 schon ein HINREICHENDES Kriterium für strenge Monotonie.
Es ist eben NICHT notwendig, wie f(x)=x^3 beweist.

durchgängig heißt dabei insbesondere, dass es keine Def-Lücken hat, wie f(x)=1/x (mit f'>0 auf dem ganzen Defbereich) als Gegenbeispiel sonst beweist.
Damit wären wir übrigens wieder beim NOTWENDIGEN Kriterium (für beliebige Funktionen), dass da f'(x)>=0 heißt.

[...]

Hallo,

habe ich dich dann richtig verstanden, dass f'(x)>0 hinreichendes Kriterium dafür, dass der Graph streng monoton wachsend ist und f'(x)>=0 notwendiges Kriterium dafür ist, dass der Graph monoton wachsend ist?

Grüße

29.03.2006, 15:47

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

neee nicht ganz

also man muss schon davon ausgehen, dass f' überall existiert; genauer überall, wo es relevant ist
nehmen wir nun aber eine Funktion mit Pol (y=-1/x), so haben wir f'>0 auf dem ganzen Intervall, aber wegen dem Sprung kein monotones Steigen auf ganz IR.

Ohne Pol, also einfacher ohne Lücke, ist f'(x)>0 schon HINREICHEND (klar!), notwendig ist es aber nicht! (es kann auch mal f'(x)>=0 sein).
Hingegen ist f'(x)>=0 IMMER notwendig, aber nicht hinreichend für Strenge Monotnie (f(x)=5).

kurz gesagt:
also f'(x)>=0 NOTWENDIG, f'(x)>0 HINREICHEND (bei Funktionen ohne Sprung)

die eine Bedingung kann zu schwach sein (muss aber erfüllt sein), die andere ist im Einzelfall eben zu stark (ist sie erfüllt, dann gilts aber sicher).

edit: LOL, also doch, das hast du ja gesagt!
Sorry! Hammer

29.03.2006, 18:07

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe in der Schule bis jetzt immer gelernt, dass auch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist!

29.03.2006, 18:11

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

habs mal editiert, wenn dann ist die eh FALLEND *rofl*
habe oben noch ein - reingemacht, man bin ich unaufmerksam

die Funktion y=1/x ist auf IR+ und auf IR- je streng monoton fallend, auf ganz D aber nicht.
vergleiche f(-1) und f(1)
es gilt -1<1, aber trotzdem f(-1)<f(1)

29.03.2006, 22:35

Gastposter

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für die Antworten,

aber ich verstehe noch nicht so ganz, warum f'(x) >= 0 "nur" notwendiges und nicht hinreichendes Kriterium für einen monoton steigenden Graphen ist.

Wenn die Ableitungsfunktion immer größer oder gleich Null ist, heißt das doch, dass der Graph nur steigt oder steigt und teilweise grade (horizontal) verläuft.

Das wäre doch monoton steigend?!

Oder wie ist das?

Grüße

29.03.2006, 23:21

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, monoton steigend stimmt, aber nicht STRENG monoton steigend
nimm eine konstante Funktion!

für "unstrenge" Monotonie hast du recht

30.03.2006, 15:39

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LOED
habs mal editiert, wenn dann ist die eh FALLEND *rofl*
habe oben noch ein - reingemacht, man bin ich unaufmerksam

die Funktion y=1/x ist auf IR+ und auf IR- je streng monoton fallend, auf ganz D aber nicht.
vergleiche f(-1) und f(1)
es gilt -1<1, aber trotzdem f(-1)<f(1)

Aber gerade dein Kriterium halte ich für nicht richtig. (Jedenfalls habe ich es nicht anders gelernt)
Ich habe es nämlich auch so gelernt wie Gastposter, nämlich

Kriterium für strenge Monotonie: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann streng monoton a) steigend b) fallend, wenn a) $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \forall x \in D_f \end{eqnarray*}$ b) $\begin{eqnarray*} f'(x) < 0 \forall x \in D_f \end{eqnarray*}$
und eben NICHT a) $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ b) $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \end{eqnarray*}$

Dementsprechend ist dann $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend für alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ , jedenfalls klingt das für mich logisch

/edit: irgendwie krieg ich das mit dem latex wieder nich richtig hin...

30.03.2006, 17:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sly
Kriterium für strenge Monotonie: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann streng monoton a) steigend b) fallend, wenn a) $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \forall x \in D_f \end{eqnarray*}$ b) $\begin{eqnarray*} f'(x) < 0 \forall x \in D_f \end{eqnarray*}$
und eben NICHT a) $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ b) $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \end{eqnarray*}$

Nein, deine Variante ist falsch, selbst für überall differenzierbare Funktionen ist sie nur hinreichend, aber nicht notwendig. Die Variante, die du so schreiend mit "NICHT" gekennzeichnet hast, ist die richtige.

Zitat:

Original von Sly
Dementsprechend ist dann $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend für alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ , jedenfalls klingt das für mich logisch

Für mich nicht, und es ist auch falsch. Richtig sind

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-1}, x\in(-\infty,0) \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend, und

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-1}, x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend.

Aber:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-1}, x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ ist nicht streng monoton fallend, ein Gegenbeispiel hat Jochen mit f(-1)<f(1) ja bereits genannt.

30.03.2006, 18:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Um Arthurs Bemerkung noch zu ergänzen: Den Begriff der (strengen) Monotonie gibt es nur über Intervallen. Das zeigt auch Arthurs Beispiel. Alles andere ist Blödsinn. Also:

Intervall - I n t e r v a l l - I N T E R V A L L

Neue Frage »

Antworten »

Bedeutung von "Notwendige Bedingung"

Verwandte Themen