Frage zu Eisenstein-Zahlen

Neue Frage »

Karo20 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Eisenstein-Zahlen
Hi!

Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass in den Eisenstein-Zahlen eine eindeutige Primfaktordarstellung zu jeder Eisenstein-Zahl existiert und dass etwa 7 keine Primzahl in den Eisenstein-Zahlen ist.

Aber wenn ich mir die 7 mal anschaue dann ist die Norm davon natürlich 7². Also wenn ich eine Zerlegung der 7 suche, muss ich zwei Eisenstein-Zahlen der Norm 7 finden, deren Produkt wieder 7 ergibt. Aber da gibt es doch einige? Wenn man eine Eisenstein-Zahl in der Form schreibt, dann erfüllen doch z.B. die folgenden 2-Tupel (a,b): (-1,3), (1,4) oder (3,4) zusammen mit den Konjugierten dieses.

Also mir ist schon klar, dass ich etwas falsch mache. Sind die obigen 2-Tupel keine Primelemente? Was sind überhaupt die Primelemente der Eisenstein-Zahlen?

LG,
Karo
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Eisenstein-Zahlen
Zitat:
Original von Karo20
dann erfüllen doch z.B. die folgenden 2-Tupel (a,b): (-1,3), (1,4) oder (3,4) zusammen mit den Konjugierten dieses.


Dieses? Die Norm dieser Zahlen ist jeweils 13; insbesondere kein Teiler von 49. Was willst du eigentlich?

Zitat:
Original von Karo20
Also mir ist schon klar, dass ich etwas falsch mache. Sind die obigen 2-Tupel keine Primelemente? Was sind überhaupt die Primelemente der Eisenstein-Zahlen?


Doch, alle Tupel entsprechen Primzahlen. Mehr dazu auf http://mathworld.wolfram.com/EisensteinPrime.html
Karo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Entschuldigung - ich habe nicht die 7 sondern die 13 betrachtet. Also alle 7er im ersten Post durch 13 ersetzen Augenzwinkern
Was ich will ist die eindeutige Zerlegung z.B. der 13 sehen - weil die Zerlegung doch nicht eindeutig ist wenn ich soviele Zahlen finde, die die 13 teilen.

LG,
Karo
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Primfaktorzerlegung ist nur eindeutig bis auf Assoziiertheit. Die Einheiten der Eisenstein-Zahlen sind , wobei wie üblich gesetzt sei. Betrachten wir mal die zwei Zerlegungen

(das entspricht gerade deinen ersten beiden Paaren (-1,3), (1,4) mit der jeweils konjugiert komplexen Zahl)

Dann gilt und , d.h. und .
Karo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Vielen Dank für deine Erklärung! Das "eindeutig bis auf..." habe ich irgendwie total überlesen.

Als ich mir das auf WolframMathWorld durchgelesen habe und die Bilder gesehen habe ist mir noch eine Frage eingefallen:

Wenn man jetzt irgendeine Eisenstein-Zahl hat und alle Eisenstein-Zahlen sucht, die von geteilt werden ... gibt es da einen Trick ohne alles Nachrechnen zu müssen? Also dass man nur unter den Vielfachen der Norm von suchen muss ist klar. Kann man das graphisch im Gitter der Eisenstein-Zahlen sehen?

LG,
Karo
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Karo20
Wenn man jetzt irgendeine Eisenstein-Zahl hat und alle Eisenstein-Zahlen sucht, die von geteilt werden ... gibt es da einen Trick ohne alles Nachrechnen zu müssen?


Das sind doch unendlich viele Zahlen. Jede solche Zahl hat die Gestalt mit ganzen x,y.
 
 
Karo20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Ja, ich meinte, ob man im Gitter die Vielfachen durch bestimmte "Bereiche" leicht kennzeichnen kann. Aber das kann ich ja mal ausprobieren wenn ich Zeit habe. War ja nur interessehalber.

LG,
Karo
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »