Allgemeine Lösungsansätze für unbestimmte Integrale

29.03.2006, 08:43

Tulef

Allgemeine Lösungsansätze für unbestimmte Integrale

Hallo zusammen!

Ich setze mich zur Zeit mit dem Lösen von Integralen auseinander.
Bis zu einem gewissen Schwierigkeitsgrad kann ich sie auch ohne Probleme lösen, aber dann laufe ich praktisch gegen eine Wand Augenzwinkern

Hier ein paar Integrale, welche ich nicht lösen kann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{1+\tan(x)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sin(x)+\cos(x)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\cos(\ln (x))}{x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir Tipps geben, wie man Allgemein an solche Integrale heran gehen sollte?

Ich habe häufig Schwierigkeiten damit zu erkennen, daß man mehrmals hintereinander Substituieren oder Partiell-Integrieren muß um an die Stammfunktion zu gelangen. Ist wahrscheinlich ne blöde Frage, aber wie kommt man darauf?

Bis dann, Tulef

29.03.2006, 08:56

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Allgemeine Lösungsansätze für unbestimmte Integrale

Zitat:

Original von Tulef

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\cos(\ln (x))}{x}~dx \end{eqnarray*}$

Splitte auf und bedenke, dass $\begin{eqnarray*} (\ln x)' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tulef
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Substituiere $\begin{eqnarray*} x = \sinh z \end{eqnarray*}$ und nutze $\begin{eqnarray*} \cosh^2 z - \sinh^2 z = 1 \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

29.03.2006, 08:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Allgemeine Lösungsansätze für unbestimmte Integrale
Allgemeine Regeln gibt es da nicht. Da hilft nur Erfahrung, ein geschulter Blick und die eine oder andere geschickte Umformung. Z.B.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}~dx = \int_{}^{}~\frac{x+\sqrt{x^2 + 1}}{x+\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{}^{}~\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x+\sqrt{x^2 + 1}}~dx \end{eqnarray*}$

Entweder erkennt man jetzt, daß im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, oder man macht die Substitution:
$\begin{eqnarray*} z = x + \sqrt{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Bei den anderen Integralen, zu denen du keine Antwort bekommen hast, besteht eine erhöhte Wahrscheinlichkeit, daß es keine geschlossene Stammfunktion gibt. Hast du dir die ausgedacht oder wo kommen die her?

29.03.2006, 11:43

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{1+\tan(x)}~dx \end{eqnarray*}$ überführt die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\tan(x) \end{eqnarray*}$ den Integranden in eine gebrochen rationale Funktion in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , geht also.

EDIT: Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sin(x)+\cos(x)}~dx \end{eqnarray*}$ mit der in solchen Fällen häufig hilfreichen Substitution $\begin{eqnarray*} z=\tan\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ . Wink

30.03.2006, 15:02

Tulef

Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank, durch eure Hilfe bin ich ein ganzes Stück weitergekommen!
Habe jetzt drei von den vier Aufgaben lösen können.

Das 1/(1+tanx) - Integral beschäftigt mich noch ganz schön, aber ich versuche noch ein bisschen ...

Neue Frage »

Antworten »

Allgemeine Lösungsansätze für unbestimmte Integrale

Verwandte Themen