rauminhalt berechnen mit a und b

29.03.2006, 17:42

jule2707

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rauminhalt berechnen mit a und b

hallo,

habe eine matheaufgabe zu lösen und hoff auf gedankenanstöße eurerseits.

aufgabe: durch die gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{eqnarray*}$ wird ein ellipse beschrieben.
die ellipsenfläche rotiert um die x-achse. berechne den rauminhalt des ellipsoids.

lösungsansatz meinerseits:

um den rauminhalt zu berechnen, muss ich die vorgegebene gleichung nach y umstellen, um das dann quadrieren und in die stammfunktion bringen zu können:

da habe ich 2 lösungen:

y1 = $\begin{eqnarray*} \frac{b ( a-x)}{a} \end{eqnarray*}$ und y2 = $\begin{eqnarray*} - \frac{b ( a-x)}{a} \end{eqnarray*}$

ist das richtig? habe es mit zahlen für y1 (a=4, b=2) in die ursprungsgleichung eingesetzt und da war es richtig.

so, wenn die nun richtig ist, was muss ich nun für grenzen für a und b (integrationsgrenzen) nehmen? muss ich dann a und b einfach so als zahlen nehmen? das dann einfach als x einsetzten?
hoffe man versteht, was ich damit sagen will...

29.03.2006, 17:45

klarsoweit

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RE: rauminhalt berechnen mit a und b
Irgendwie ist da beim Umstellen nach y und bei der Berechnung des Rotationsvolumens was falsch gelaufen. Schreib doch erstmal die Gleichung für das Rotationsvolumen hin.

29.03.2006, 17:46

jule2707

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das habe ich doch noch gar nicht ausgerechnet, habe auch nochn nicht quadriert oder stammfunktion gebildet. das ist erstmal nur die gleichung nach y umgestellt.

oder ist die etwa falsch??

29.03.2006, 17:49

klarsoweit

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Ja, ist sie. Mache doch das mal Schritt für Schritt.

29.03.2006, 17:55

jule2707

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okay, kein ding:

soweit erst mal richtig?:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1-\frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = b^{2} - \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2}} \end{eqnarray*}$

29.03.2006, 18:08

jule2707

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habe es mal weiter umgeformt:

$\begin{eqnarray*} y^{2} = \frac{b^{2}a^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2} } \Rightarrow y^{2} = \frac{b^{2}(a^{2}- x^{2}) }{a^{2} } \end{eqnarray*}$

so, und jetzt einfach die wurzel ziehen und ich habe das, was ich im ersten beitrag geschrieben habe.

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29.03.2006, 18:42

jule2707

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ich bin es noch mal. finde meinen fehler nicht. kann mir vielleicht jemand anderes weiterhelfen?? klarsoweit ist ja schon ne weile nicht mehr online und alleine schaffe ich das hier nicht... unglücklich

unglücklich

29.03.2006, 18:45

klarsoweit

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Bin ja wieder da. Meine Tochter mußte unbedingt was downloaden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du etwa sowas gemacht:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{16 - 9} = 4 - 3 = 1 \end{eqnarray*}$
Nee, nee. So geht das nicht.

29.03.2006, 18:46

kathi83

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Zitat:

Original von jule2707

$\begin{eqnarray*} y^{2} = \frac{b^{2}a^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2} } \Rightarrow y^{2} = \frac{b^{2}(a^{2}- x^{2}) }{a^{2} } \end{eqnarray*}$

so, und jetzt einfach die wurzel ziehen und ich habe das, was ich im ersten beitrag geschrieben habe.

Wenn du die Wurzel von der Klammer (a²-x²) ziehst, darfst du wegen dem "-" nicht einfach (a-x) hinschreiben. Das geht nur bei * oder :

29.03.2006, 18:50

jule2707

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oh, das geht nicht. habe es nämlich so gemacht klarsoweit...
wie zieht man dann die wurzel aus dem zähler?

29.03.2006, 18:54

klarsoweit

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Bei Produkten kannst du die Wurzel aus jedem Faktor ziehen. Ansonsten einfach die Wurzel stehen lassen.
In diesem Fall ist das Wurzelziehen sowieso überflüssig, da hinterher das Quadrat der Funktion integriert wird.

29.03.2006, 19:01

jule2707

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ah, da ich ja die funktion dann quadriere, um die stammfunktion daraufhin zu bilden, da muss ja dann:

y = $\begin{eqnarray*} \frac{b^{2} (a^{2} - x^{2} )}{a^{2} } \end{eqnarray*}$

richtig?

schreibweise ist jetzt nicht absolut koerrekt, denn eigentlich müsste ich es ja jetzt schon so schreiben $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ f(x)~dx \end{eqnarray*}$

29.03.2006, 19:06

klarsoweit

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Das Quadrat hättest du ruhig stehen lassen können.
$\begin{eqnarray*} y(x)^2 = \frac{b^{2} (a^{2} - x^{2} )}{a^{2} } \end{eqnarray*}$
Ob es geschickt war, das alles auf einen Bruch zu schreiben, sei mal dahingestellt.

Und das Integral für das Rotationsvolumen lautet:
$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_{}^{}~y(x)^2~dx \end{eqnarray*}$

Da das Quadrat von y integriert wird, brauchen wir auch nur das y² zu berechnen.

29.03.2006, 19:09

jule2707

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stimmt, da hast du recht.

also muss ich jetzt von der funktion die stammfunktion bilden. ich versuche es mal:

stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} b^{2} x - (\frac{b^{2} a^{-2} }{3} \cdot x^{3} ) \end{eqnarray*}$

habe den bruch aufgelöst, da konnte ich bei b²a²:a² ja a² wegkürzen und leichter die stammfunktion bilden.

ist die s-fkt. richtig?

29.03.2006, 19:27

klarsoweit

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Sehr gut!

Freude

Statt a^(-2) im Zähler kannst du auch das a² im Nenner lassen. Aber das ist Geschmackssache.

Und wenn man etwas penetrant sein will: du hast "eine" Stammfunktion. "Die" Stammfunktion ist ungenau, da es keine eindeutige Stammfunktion gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2006, 19:30

jule2707

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okay, gut zu wissen - dann es es eben "eine" stammfunktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

und welche grenezn muss ich jetzt für das integral nehmen?
a und b und dann damit rechnen, statt mit konkreten zahlen?

29.03.2006, 19:36

klarsoweit

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Für die Grenzen schauen wir mal auf unsere Funktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{y^{2}}{b^2} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \end{eqnarray*}$
Wie man leicht sieht, ist links was positives. Also muß der Teil rechts auch immer positiv sein. Das geht nur für -a <= x <= a. Und das sind dann auch unsere Grenzen.

29.03.2006, 19:45

jule2707

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hhm, ich habe zwar eine bitmap datei erstellt kann die aber nicht hochladen (zu groß)

bei der aufgabe gab es auch noch eine zeichnung dazu:

koordinatensystem mit y- und x-achse. dann eine ellipse, die alle 4 quadranten umschließt. a ist die x-achse, bh die y-achse.

ändert das jetzt etwas an den integralgrenzen?

29.03.2006, 19:51

klarsoweit

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Nee, würde ich nicht sagen. Gemeint ist wohl, daß die x-Werte zwischen -a und a liegen und die y-Werte zwischen -b und b.

PS: mache gleich Feierabend. Ich denke, den Rest schaffst du auch alleine.

29.03.2006, 19:53

jule2707

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also habe jetzt mein volumen für die grenzen -a<=x<=a berechnet. das ergebnis klingt super: V= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ 2ab²

29.03.2006, 19:54

jule2707

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großes danke für die hilfe!! wünsche dir noch einen schönen abend smile

smile

29.03.2006, 19:58

klarsoweit

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Das Ergebnis scheint mir aber nicht zu stimmen. Rechne nochmal nach.

29.03.2006, 20:51

jule2707

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ja, war falsch kommt noch was hinzu. habe einen vorzeichenfehler gemacht.

30.03.2006, 08:30

klarsoweit

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Naja, eher kommt was weg.
Richtig ist: $\begin{eqnarray*} V = \frac{4}{3} \pi ab^2 \end{eqnarray*}$

30.03.2006, 15:56

jule2707

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ja, das habe ich auch raus gehabt.
habe auch schon mit meinem lehrer gesprochen und der meine auch es sei richtig.
danke noch mal für die hilfe, hat meine 10 punkte auf dem zeugnis gerettet.

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