Volumenberechnung eines Tetraeders

29.03.2006, 17:59	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung eines Tetraeders Hallo Leute! Ich sitz heut schon den ganzen Nachmittag an einer Aufgabe und hab keinen Plan, was ich falsch gemacht hab. Folgendes, ich hab 4 Punkte gegeben und soll dadurch das Volumen des Tetraeders berechnen: A(0/0/0); B(1/2/3); C(4/5/6); D(7/8/9) Dann hab ich mal die Verbinbungsvektoren aufgestellt, das war ja nicht weiter schwer: $\begin{eqnarray} \overrightarrow {AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}; \overrightarrow {AC}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}; \overrightarrow {AD}=\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hab ichs mal auf beide Arten versucht, zuerst mit der Determinante: $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{6} \mid det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\mid = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} \mid =(45-48)-4(18-24)+7(12-15)=-3+24-21=0 \end{eqnarray}$ Dann hab ichs noch mit der Formel versucht: $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{6} \mid (\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC}) \cdot \overrightarrow {AD} \mid \end{eqnarray}$ Dann einsetzen und ausrechnen: $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{6} \mid [\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}] \cdot \overrightarrow {AD} \mid = \frac{1}{6} \mid \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \mid=\frac{1}{6}(-21+48-27)=0 \end{eqnarray*}$ Bin echt noch am verzweifeln!!!!! Danke im Vorraus!
29.03.2006, 18:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ein Körper das Volumen 0 hat, dann heißt das doch ... Nicht verzweifeln, sondern den richtigen Schluß aus dem Ergebnis ziehen! Wie müssen die Punkte $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ liegen?
29.03.2006, 18:15	bunny2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann müssten sie in einer Ebene liegen, oder? Weil nur dann gibts keinen Körper, also auch kein Volumen... Stimmt das so? Ist die Lösung wirklich so einfach? DANKE bunny2
29.03.2006, 18:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach ist das. Übrigens: Alle vier Punkte liegen in der Ebene mit der Gleichung $\begin{eqnarray} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Das Einsetzen der Koordinaten zeigt das.
29.03.2006, 18:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Und noch einfacher: C ist der Mittelpunkt der Strecke BD.

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