Beweis von Ungleichungen (vollst. Induktion?)

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HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Ungleichungen (vollst. Induktion?)
Hallo.
Sitze hier vor einer Aufgabe, die mich mittlerweile echt in den Wahnsinn treibt, wäre für jede nur erdenkliche Hilfestellung dankbar. Es geht um Ungleichungen von rellen Zahlen.
Aufgabenstellung:

Zeigen Sie für alle :



Habe es mit vollständiger Induktion versucht, lande jedoch immer wieder in einer Sackgasse. Auch mit Bernoulli komm ich nicht weiter.
Helft mir.... bitte!!

Gruß
Jens
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Das sollte eigentlich mit Bernoulli kein Problem sein. Die Ungleichung ist nämlich äquivalent zu

.

Gruß MSS
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gelangst Du zu dieser Äquivalenzdarstellung?

Habe mal nachgerechnet und komme auf folgendes:


folgendes gilt dann nur für n>1:



Wie soll es dann weitergehen?

Wenn ich Bernoulli direkt anwende, komme ich auf:


dadurch wird lediglich die linke Seite "genullt" und weiß nicht weiter....
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HobbyStudent

Die Basis rechts ist schon so wie bei MSS, aber der Exponent ist und nicht . Also was macht man da? Richtig, einmal alles mit multiplizieren!!! Und schon stehts wegen da.

Und den Bernoulli wendest du auf an, deswegen ja die ganze Umformerei.
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem habe ich damit doch nur den Fall n>1.
Reicht das aus, wenn ich dann zusätzlich noch den Fall n=1 gesondert behandle?

Also... nur, damit ich Euch richtig verstanden habe:
Ich benötige hier keine vollst. Induktion, sondern muss lediglich die Ungleichung auf o.g. Form bringen, so daß:

und

somit bleibt zu zeigen:

, was ja trivial ist...
richtig??

Gruß
Jens
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Bernoulli-Ungleichung falsch angewandt! Du hast es so gemacht:



mit . Korrekt ist aber

.

Wie das geht, hat Arthur schon angedeutet:

.

Darauf kannst du jetzt die Ungleichung anwenden mit . Dann bist du fertig, außer für . Aber da kannst du es ja auch einfach ausrechen und dann siehst du, dass es richtig ist.

Gruß MSS
 
 
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht.... hab mich auf meinem Schmierzettel verguckt Hammer

Damit wär's ja gelöst... herzlichen Dank auch!
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