Mindestumfang einer Stichprobe einer normalverteilten Zufallsgröße

29.03.2006, 21:15

AmelieS.

Mindestumfang einer Stichprobe einer normalverteilten Zufallsgröße

Hallo,
in unserem Mathebuch ist die Wahl eines genügend großen Stichprobenumfang sehr gut beschrieben. Jedoch nur für binomialverteilte Zufallsgrößen. Wie macht man das bei normalverteilten Zufallsgrößen? Da teilt man doch immer (stimmt das?) durch Wurzel n... so würd das doch dann leider nicht funktionieren, weil sich sonst das n wegkürzen würd.

kann mir jemand weiterhelfen?

29.03.2006, 21:30

bil

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hi...
verstehe ich nicht ganz, kannst du es etwas genauer nochmal erklären?

30.03.2006, 08:32

AmelieS.

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Der Mindestumfang wurde so berechnet:
|p-X/n|<1,96sigma/n
|p-X/n|<d
1,96sigma/n<d
n>1,96^2pq/d^2

Wie macht man das für normalverteilte Zufallsgrößen?

30.03.2006, 10:22

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Zitat:

Original von AmelieS.
Der Mindestumfang wurde so berechnet:
|p-X/n|<1,96sigma/n
|p-X/n|<d
1,96sigma/n<d
n>1,96^2pq/d^2

Wie macht man das für normalverteilte Zufallsgrößen?

Dann wollen wir das mal analysieren, was du eigentlich bezweckst: 1.96 steht bestimmt für das Normalverteilungsquantil $\begin{eqnarray*} z_{0.975}=1.96 \end{eqnarray*}$

Was bei dir da steht, nutzt nämlich bereits die Approximation $\begin{eqnarray*} B(n,p)\approx \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray*}$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Für den Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{X}{n} \end{eqnarray*}$ gilt dann also näherungsweise $\begin{eqnarray*} \bar{X}\sim \mathcal{N}\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{p(1-p)} \end{eqnarray*}$ . Erreicht werden soll die Schätzung von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ mit einer Genauigkeit $\begin{eqnarray*} \pm d \end{eqnarray*}$ in wenigstens $\begin{eqnarray*} 1-\alpha=0.95=95~% \end{eqnarray*}$ aller Fälle einer Stichprobennahme vom Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . In einer Wahrscheinlichkeit ausgedrückt heißt das

$\begin{eqnarray*} P\left( \left| \bar{X}-\mu \right| < d \right) \geq 1-\alpha \end{eqnarray*}$

Mit üblicher Transformation auf Standardnormalverteilung kann man die linke Seite so umformen:

$\begin{eqnarray*} P\left( \left|\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}\right| < \frac{d\sqrt{n}}{\sigma} \right) \geq 1-\alpha \end{eqnarray*}$

was dann zu dem von dir bereits (etwas fehlerhaften) erwähnten

$\begin{eqnarray*} d\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \geq z_{1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} n \geq \frac{z_{1-\alpha/2}^2\sigma^2}{d^2} \end{eqnarray*}$

führt. Wie gesagt, für Binomialverteilungen nimmt man $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{p(1-p)} \end{eqnarray*}$ , bei Normalverteilungen dagegen direkt das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ einfach der Mittelwert einer $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilten Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Wenn man das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nicht kennt, ersetzt man es in der Formel durch die Stichproben-Standardabweichung $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Dann macht man zwar einen kleinen Fehler, da man dann statt Normalverteilungsquantilen $\begin{eqnarray*} z_{1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$ eigentlich t-Quantile $\begin{eqnarray*} t_{n-1,1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$ nutzen müsste, aber für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann man da gnädig drüber hinwegsehen. Augenzwinkern

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