Beweise

29.03.2006, 21:37

Frisco80m

Beweise

Kann jemand diese Aufgabe lösen?

a) Seien a, b, c drei positive reelle Zahlen mit abc = 1
Zeige:

i)
$\begin{eqnarray*} ab+c\geq 2 \end{eqnarray*}$

ii)
$\begin{eqnarray*} a+b+c\geq 3 \end{eqnarray*}$

b) Wir setzen die Existenz der dritten Wurzel voraus, d.h. die Tatsache, dass zu jedem
$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
genau ein
$\begin{eqnarray*} y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
existiert mit
$\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y³=x \end{eqnarray*}$ .
Seien a,b,c drei positive reelle Zahlen.
Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} ³\sqrt{abc} \geq \frac{a+b+c}{3} \end{eqnarray*}$

Ich nehme auch gerne Aufzeichnungen im Bildformat an edit Jochen: weggemacht

29.03.2006, 21:48

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

1) gibt es hier keine Komplettlösungen
2) finde ich es etwas unverschämt diese Formulierung "Ich nehme auch gerne Aufzeichnungen im Bildformat"
3) Hilfe ins Board, deswegen Emailadresse weggemacht

erzähl uns mal eigene Ideen, vielleicht Ansätze etc.

30.03.2006, 01:34

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es auch unverschämt zu sagen "hier ist die Aufgabe, macht mal. Ich nehm auch übrigens Lösungen im Bildformat an..." böse

Aber ich bin nun mal nicht so Spam

Ich geb dir einen Tip zur a)i)
Du weißt (laut Aufgabe) $\begin{eqnarray*} abc=1 \end{eqnarray*}$ und a,b,c sind positive reelle Zahlen.
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} ab+c\geq 2 \end{eqnarray*}$

Schreib mal $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ um. Ich nenne mal den umgeformten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (den rechnest du mal schön selbst aus Big Laugh

).
Dann ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} \phi +c \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Dann denkst du noch einmal scharf nach und formst diese Form nochmal um Klo

Kommt dir diese "ähnliche Form" bekannt vor?

Probiers mal aus. Es ist nicht schwer. Falls du nicht weiterkommen solltest, dann schreib deinen Ansatz hin und sag dann weshalb du nicht weiterkommst!!!
(Dies hinterlässt auch einen freundlicheren Eindruck von dir :tongue smile

30.03.2006, 12:33

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweise

Zitat:

Original von Frisco80m
b)Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} ³\sqrt{abc} \geq \frac{a+b+c}{3} \end{eqnarray*}$

Gilt hier auch "Seien a, b, c drei positive reelle Zahlen mit abc = 1" ?

Falls ja, dann kannste deinem Lehrer ein schönes Gegenbeispiel hinknallen Big Laugh

Seien $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c=0,5 \end{eqnarray*}$

dann ist: $\begin{eqnarray*} ³\sqrt{abc}=³\sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$
aber wenn die Behauptung stimmen würde,
dann müsste gelten $\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{1+2+0,5}{3}=\frac{3,5}{3} > 1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 1>1 \end{eqnarray*}$ Damit stimmt die Aussage nicht.

Die Gleichheit folgt allerdings aus a=b=c=1

EDIT: Ich finde es selbst nicht gut gleich ein Gegenbeispiel hinzuknallen. Aber da die Behauptung zu zeigen ist gehe ich mal davon aus, dass ich die Aufgabenstellung falsch verstanden habe.
Ich habe hier lediglich meine Aufgabenauffassung gepostet, mit der ich aber sofort ein Gegenbeispiel hatte.

30.03.2006, 13:11

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz offensichtlich ist die Ungleichung vom geometrischen-arithmetischen Mittel gemeint:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \end{eqnarray*}$

Zur Info kannst du auch mal das lesen: http://de.wikipedia.org/wiki/ Ungleichun..._Beweise<br />

Wobei das hier aber nicht nötig sein sollte.

Gruß, therisen

30.03.2006, 13:55

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Dies war für mich aus der Aufgabenstellung "ganz offensichtlich" unklar smile

Er hätte zumindest den Namen der Ungleichung angeben können...

30.03.2006, 13:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganze Aufgabe dreht sich um AMGM, auch die a):

i) mit 2 Werten ab , c
ii) mit 3 Werten a , b , c

30.03.2006, 19:40

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur hat gesagt, dass ich meinen Beweis posten soll, dann tu ich's mal Klo

laut Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} ab=\frac{1}{c} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} abc=1 \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} ab+c \geq 2 <=> \frac{1}{c}+c \geq 2 \end{eqnarray*}$ Da $\begin{eqnarray*} c >0 \end{eqnarray*}$ , darf ich beide Seiten mit c multiplizieren, und das Ungleichheitszeichen bleibt gleich. Also folgt
$\begin{eqnarray*} 1+c^2 \geq 2c <=> c^2-2c+1 \geq 0 <=> (c-1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
Aber $\begin{eqnarray*} (c-1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist eine wahre Aussage. folglich stimmt die Behauptung.

Dieser Beweis ist so sicher wie das Amen in der Kirche Teufel

30.03.2006, 19:43

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Daktari,

warum so umständlich?

$\begin{eqnarray*} ab+c \geq 2 \Leftrightarrow \frac{ab+c}{2} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Mit AM-GM folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{ab+c}{2} \geq \sqrt{abc} = \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

30.03.2006, 19:49

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum einfach, wenns auch schwerer geht ^^

30.03.2006, 19:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dein Beweis ist zumindest auchrichtig.

Allerdings lässt er sich schlecht auf ii) übertragen.

30.03.2006, 19:56

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweise

Zitat:

Original von Frisco80m
Kann jemand diese Aufgabe lösen?

Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} ³\sqrt{abc} \geq \frac{a+b+c}{3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von therisen
Ganz offensichtlich ist die Ungleichung vom geometrischen-arithmetischen Mittel gemeint:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \end{eqnarray*}$

@therisen
So wie ich dich verstehe magst du mein oben erwähntes Gegenbeispiel nicht.
Was ist dann an meinem Gegenbeispiel "falsch", wenn er die Ungleichheitszeichen verdreht und zusätzlich noch die Angabe $\begin{eqnarray*} abc=1 \end{eqnarray*}$ macht ?

30.03.2006, 20:09

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, lassen wir mal die Kirche im Dorf: Frisco80m hat bei dieser Ungleichung tatsächlich das Relationszeichen gerade falschherum angegeben (vielleicht einfach nur verschrieben?), und du hast das sofort durch dein Gegenbeispiel aufgezeigt. Dabei können wir es aber auch belassen - ich kann nicht erkennen, dass therisen was gegen dein Beispiel hat.

30.03.2006, 20:47

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Und es ist schon der zweite Beitrag, den Frisco bringt, ohne darauf zu antworten
Ist wohl nicht der forenfreundlichste User, also gebt euch nicht zu viel Mühe für ihn.

*grml*

Neue Frage »

Antworten »

Beweise

Verwandte Themen