Wurzel von nilpotenter Matrix

26.06.2008, 16:54

Kraudes

Wurzel von nilpotenter Matrix

Grüße Euch!
Ich habe eine beliebige komplexe, nilpotente 3x3-Matrix $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gegeben und soll zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} A = E_{3} + \frac{1}{2} \cdot N - \frac{1}{8} \cdot N^{2} \end{eqnarray*}$ eine Quadratwurzel von $\begin{eqnarray*} E_{3} + N \end{eqnarray*}$ ist.
Meine Rechnung führt mich nun zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} (E_{3} + \frac{1}{2} \cdot N - \frac{1}{8} \cdot N^{2})^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = E_{3} + \frac{1}{2} \cdot N -\frac{1}{8} \cdot N^{2} +\frac{1}{2} \cdot N +\frac{1}{4} \cdot N^{2} -\frac{1}{16} \cdot N^{3} -\frac{1}{8} \cdot N^{2} -\frac{1}{16} \cdot N^{3} +\frac{1}{64} \cdot N^{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = E_{3} + N - \frac{1}{8} \cdot N^{3} + \frac{1}{64} \cdot N^{4} \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: kann ich an dieser Stelle bereits sagen, dass der Beweis nun fertig ist, da $\begin{eqnarray*} N^{3} = N^{4} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nilpotent und 3x3-Matrix ist? Oder ist das einfach nur eine Vermutung und ich muss noch was zeigen?

LG

26.06.2008, 17:08

WebFritzi

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RE: Wurzel von nilpotenter Matrix

Zitat:

Original von Kraudes
kann ich an dieser Stelle bereits sagen, dass der Beweis nun fertig ist, da $\begin{eqnarray*} N^{3} = N^{4} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt

So ist es. Ob du nun schon aus der Vorlesung weißt, dass N³ = 0 gilt, kann ich dir aber leider nicht beantworten.

26.06.2008, 17:25

Kraudes

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Ich bedanke mich. Einen Beweis dafür konnte ich in der Vorlesung bisher nicht entdecken, allerdings kann ich mir nicht vorstellen, dass man den Beweis innerhalb dieser Aufgabe selbst durchführen soll. Naja, mal schauen ob ich das trotzdem hinbekomme.
LG

26.06.2008, 18:03

WebFritzi

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Wie sieht denn das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix aus? Dann Cayley-Hamilton.

27.06.2008, 13:15

Kraudes

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wie sieht denn das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix aus? Dann Cayley-Hamilton.

Hm, war ja wirklich nicht so schwer, danke für den Hinweis.
Das charakteristische Polynom einer nilpotenten nxn-Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} \lambda ^{n} \end{eqnarray*}$ und da die Matrix ja Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, ist $\begin{eqnarray*} A^{n} = 0 \end{eqnarray*}$ . Nochmals meinen Dank!

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