Verständnisproblem bei Kompaktheit

30.03.2006, 16:46

JudgeNot

Verständnisproblem bei Kompaktheit

Hallo zusammen!

Zuerst mal die Definitionen:

Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung
$\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{i\in I}U_i, Ui \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$
eine endliche Teilüberdeckung
$\begin{eqnarray*} X=U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\ldots\cup U_{i_n} \end{eqnarray*}$
besitzt.

Eine Teilmenge M eines topologischen Raums X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung
$\begin{eqnarray*} M\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i, Ui \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$
eine endliche Teilüberdeckung
$\begin{eqnarray*} M\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\ldots\cup U_{i_n} \end{eqnarray*}$
besitzt.

Nach den obigen Definitionen ist mir zwar klar, dass M:=[0,1] kompakt ist, aber warum ist M':=[0,1) nicht kompakt?

$\begin{eqnarray*} M' \subset (-1/n,1) \cup (1-1/n,1) \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Denkfehler?

30.03.2006, 17:34

Abakus

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RE: Verständnisproblem bei Kompaktheit
Hallo JudgeNot,

werf nochmal einen Blick auf die Definition: Jede offene Überdeckung muss eine endliche Teilüberdeckung besitzen (D.h.: "endlich viele offene Mengen aus der Überdeckung müssen es auch tun").

Wenn M' nicht kompakt ist, gibt es demnach mindestens eine offene Überdeckung, die sich nicht auf eine endliche reduzieren lässt.

Fällt dir eine ein?

Grüße Abakus smile

31.03.2006, 22:05

JudgeNot

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RE: Verständnisproblem bei Kompaktheit
Danke!

$\begin{eqnarray*} M' \subset \bigcup_{n =1 }^{\infty}(-1,1-1/n) \end{eqnarray*}$
aber die Überdeckung lässt sich nicht auf eine endliche reduzieren.

Sind diese Kompaktheitsdefinitionen eigentlich äquivalent zu dieser?:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist

Eine Menge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von $\begin{eqnarray*} a_{n} \in A \end{eqnarray*}$ ebenfalls in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt.

01.04.2006, 01:01

Abakus

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RE: Verständnisproblem bei Kompaktheit
Ja, richtiges Beispiel gefunden Freude

.

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit euklidischer Topologie ist kompakt zu abgeschlossen und beschränkt äquivalent, ja.

Als äquivalentes Kriterium mit Folgen hast du: $\begin{eqnarray*} K \subseteq \mathbb R^n~\mbox{oder}~\mathbb C \end{eqnarray*}$ ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegt.

Grüße Abakus smile

01.04.2006, 02:15

Ace Piet

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RE: Verständnisproblem bei Kompaktheit
> aber die Überdeckung lässt sich nicht auf
> eine endliche reduzieren.
Beweis?!

THX -Ace-

01.04.2006, 12:41

JudgeNot

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RE: Verständnisproblem bei Kompaktheit

Zitat:

> aber die Überdeckung lässt sich nicht auf
> eine endliche reduzieren.
Beweis?!

$\begin{eqnarray*} (-1,1) \neq (-1,1-1/n) \qquad \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
Das heißt für die Überdeckung braucht man den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

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