Skalarprodukt -> Norm |
| 26.06.2008, 18:51 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Skalarprodukt -> Norm |
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| 26.06.2008, 19:01 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die vom Skalarprodukt induzierte Norm wird so definiert: |
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| 26.06.2008, 19:02 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok, danke 
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| 26.06.2008, 23:16 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, sowas kann man wirklich unter Wikipedia nachschlagen... |
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| 26.06.2008, 23:20 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wobei ein skp nicht zwingend eine norm induziert... |
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| 26.06.2008, 23:34 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Afaik ist das genau dann der Fall, wenn die Parallelogrammgleichung gilt. |
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| 26.06.2008, 23:44 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Parallelogrammgleichung gilt genau dann in einem normierten Raum, wenn die Norm von einem Skalarprodukt induziert wird. Die Aussage, dass ein Skalarprodukt nicht zwingend eine Norm induziert ist allerdings etwas irreführend, vielleicht hätte man eher "Nicht in jedem normierten Raum ist die Norm von einem Skalarprodukt induziert" oder "Es gibt auch normierte Räume ohne Skalarprodukt" schreiben sollen. |
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| 27.06.2008, 00:04 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ich z.b. mein: Vektorraum: hilbertraum L² Divisionsbereich: D Skalarprodukt: das definiert ein skp. jedoch wird dadurch keine echte norm induziert, da es die bedingung nicht erfüllt. |
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| 27.06.2008, 09:04 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Skalarprodukt ist stets positiv definit und induziert daher eine Norm! Das ist etwas anderes bei (z.B. positiv semidefiniten) inneren Produkten. |
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| 27.06.2008, 09:27 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nubler, dein Beispiel ist falsch. Dein Skalarprodukt induziert sehr wohl eine Norm, der Hilbertraum L^2 ist ja gerade so definiert, daß seine Elemente eigentlich Äquivalenzklassen f.ü. gleicher Funktionen sind, und keine Funktionen, eben gerade um dieses Problem der Semidefinitheit zu umschiffen. Diesen Fakt kann man fast immer ignorieren, und mit Funktionen als Vertretern der Äquivalenzklassen statt mit den Äquivalenzklassen selber arbeiten. Zumindest wenn man sich immer nur Integrale anschaut, und nie nach Funktionswerten an einer Stelle fragt. Nur hier eben gerade nicht. |
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| 27.06.2008, 13:51 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schön, dass auch so eine kleine Frage hier eine solche Diskussion induziert ;-) |
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| 27.06.2008, 19:04 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
extra im linalg skript nachgeschaut, da steht iwie nix von äquivalenzklassen... |
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| 27.06.2008, 19:13 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich zitiere mal den Wikipedia-Beitrag:
Gemäß dieser Sichtweise bist du, Nubler, also ein "Abweichler" - nicht bös gemeint.
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| 27.06.2008, 19:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das stimmt. Hatte ich vergessen, weil bei mir ein Skalarprodukt stets positiv definit ist. Hab aber auch schonmal diese "abweichende" Definition gesehen, in der die positive Definitheit nicht gefordert wird. Also alles Definitionssache, und alle haben recht.
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