komplexe quadratsiche Gelichung

26.06.2008, 19:21

JuriRussiaWillWin

komplexe quadratsiche Gelichung

hi,

habe hier folgende komplexe-quadaratische Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sei eine beliebige reelle Zahl. Bestimmen Sie die zwei komplexen Lösungen der folgenden Gleichung mittels p/q Formel: $\begin{eqnarray*} z^2-(\lambda -2i)z - (1+\lambda i)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - (\frac{-(\lambda-2i)}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-(\lambda-2i)}{2})^2 + (1-\lambda i)} \end{eqnarray*}$ |ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda}{2} -i \pm \sqrt{0.25 \lambda + \lambda i -1 +1 -\lambda i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda}{2} -i \pm \sqrt{0.25 \lambda } \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich noch den Realteil und den Imaginärteil ermitteln.....wie mach ich das jetzt?

26.06.2008, 19:25

tmo

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Unterm Wurzelzeichen sollte $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ stehen. Dann kommt man auf sehr einfache Lösungen.

26.06.2008, 19:41

JuriRussiaWillWin

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hab nochmal nachgerechnet, hab jetzt unter der wurzel einen quadratischen ausdruck. heist das jetzt dass ich für diese gleichung 4 lösungen hab?

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda}{2} -i \pm \sqrt{\frac{1}{4}\lambda^2 -2 \lambda i } \end{eqnarray*}$

26.06.2008, 19:43

tmo

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Also ich komme auf $\begin{eqnarray*} \lambda-i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ als Lösungen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda}{2} -i \pm \sqrt{0.25 \lambda } \end{eqnarray*}$ wäre ja schon fast richtig gewesen, es hätte nur $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda}{2} -i \pm \sqrt{0.25 \lambda^2 } \end{eqnarray*}$ lauten müssen.

26.06.2008, 19:49

Leopold

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Nach Vieta muß für die beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ ja gelten:

$\begin{eqnarray*} z_1 + z_2 = \lambda - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 z_2 = -1 - \lambda \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Und wenn man nun hofft, daß eine der beiden Lösungen vielleicht $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ist, was wäre dann die andere? Und auf einmal spielt es überhaupt keine Rolle mehr, ob $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ reell ist ...

26.06.2008, 19:52

JuriRussiaWillWin

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$\begin{eqnarray*} (-0.5 \lambda + i)^2 = (-0.5 \lambda + i) * (-0.5 \lambda + i) = 0.25 \lambda^2 - 0.5\lambda i - 0.5\lambda +i^2 = 0.25 \lambda^2 - \lambda i -1 \end{eqnarray*}$

oder nicht?

26.06.2008, 19:57

JuriRussiaWillWin

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Zitat:

Original von Leopold
Nach Vieta muß für die beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ ja gelten:

$\begin{eqnarray*} z_1 + z_2 = \lambda - 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 z_2 = -1 - \lambda \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Und wenn man nun hofft, daß eine der beiden Lösungen vielleicht $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ist, was wäre dann die andere? Und auf einmal spielt es überhaupt keine Rolle mehr, ob $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ reell ist ...

hm.....versteh nicht ganz worauf du hinaus willst.....

26.06.2008, 20:00

Leopold

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Ich wollte nur darauf hinaus, daß man mit Gespür und einer gehörigen Portion Glück die beiden Lösungen der Gleichung, die tmo berechnet hat, auch erraten kann.

26.06.2008, 21:01

JuriRussiaWillWin

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$\begin{eqnarray*} (-0.5 \lambda + i)^2 = (-0.5 \lambda + i) * (-0.5 \lambda + i) = 0.25 \lambda^2 - 0.5\lambda i - 0.5\lambda +i^2 = 0.25 \lambda^2 - \lambda i -1 \end{eqnarray*}$

Kann sich mir einer gnädig erweisen und mir sagen was ich da andauernd falsch rechne.

wenn ich diese umrechnung für die ^2 potenz unterm bruch einsetze kommt da bei mir das raus

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0.25 \lambda^2 - \lambda i - 1 + (1 - \lambda i)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.25 \lambda^2 - 2 \lambda i } \end{eqnarray*}$

26.06.2008, 23:22

WebFritzi

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Da muss natürlich am Ende der Wurzel 1 + lambda*i stehen. Schreib das doch einfach ab.

Zudem hat Russland nicht gewonnen! Augenzwinkern

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