Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

27.06.2008, 10:09	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung hallo ich hab folgende angabe: $\begin{eqnarray} f_{x,y} = x^2+y^2 \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} x^2+xy+y^2=3 \end{eqnarray}$ Mittels La Grange komm ich auf einen Punkt und zwar: $\begin{eqnarray} E_1(\pm 1,\pm 1) \end{eqnarray}$ in der lösung steht aber auch noch folgender puntk: $\begin{eqnarray} E_2(\mp \sqrt{3} ,\pm \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ wie komm ich aber auf E2 bitte um hilfe und danke im voraus
27.06.2008, 10:14	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich bei der Nebenbedingung verschrieben, ich denke mal auf der rechten Seite soll eine 3 stehen. Zumindest lassen die Lösungen dies vermuten. Wo dein Fehler ist, kann ich dir nicht sagen, ohne deine Rechnung zu sehen. Meine Vermutung ist aber, daß du irgendwo durch einen Term dividiert hast, ohne noch den Fall extra zu betrachten, daß dieser Term auch 0 sein kann. Dadurch verlierst du dann eine Lösung des Gleichungssystems. Zumindest ist das erfahrungsgemäß ein sehr beliebter Anfängerfehler bei Aufgaben zu der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode.
27.06.2008, 10:27	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit der nebenbedingung stimmt allerdings ;-) also nochmal $\begin{eqnarray} x^2+xy+y^2=3 \end{eqnarray}$ dann eingesetzt in die funktion erhalte ich: $\begin{eqnarray} f_{x,y,\lambda} = x^2+y^2+\lambda (x^2+xy+y^2-3) \end{eqnarray}$ die ableitungen: $\begin{eqnarray} f_x = 2x+2\lambda x+\lambda y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y = 2y+2\lambda y+\lambda x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_\lambda = x^2+y^2+xy-3 \end{eqnarray}$ dann hab ich aus fx und fy jeweils das lambda berechnet, diese gleichgesetzt und erhalte dann: x=y eingesetzt in die NB wird das +-1 wo liegt denn mein fehler.
27.06.2008, 10:40	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nicht jeden Schritt hinschreibst, kann dir keiner die Stelle mit dem Fehler zeigen. Ich vermute immer noch, daß du bei dem Schritt, in dem du nach lambda umstellst, durch einen Term dividierst, der auch 0 sein kann. Diesen Fall mußt du noch extra betrachten.
27.06.2008, 11:57	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
aus fx bekomme ich: $\begin{eqnarray} \lambda =-\frac{2x}{2x+y} \end{eqnarray}$ aus fy bekommen ich: $\begin{eqnarray} \lambda =-\frac{2y}{2y+x} \end{eqnarray}$ lambda gleichgesetzt erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} 2x(2y+x) = 2y(2x+y) \\4xy+2x^2 = 4xy +2y^2\\x^2=y^2\\x=y \end{eqnarray}$ in die nebenbedingung eingesetzt: $\begin{eqnarray} x^2+x^2+x^2-3=0\\x= \pm1 \end{eqnarray}$
27.06.2008, 12:27	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. 1. Fehler: wie ich shcon zweimal erwähnt habe, teilst du durch 2x+y bzw. 2y+x. Dadurch nimmst du implizit an, daß diese beiden Werte ungleich 0 sind, und verlierst Lösungen, falls es welche mit 2x+y=0 oder 2y+x=0 gibt. Du mußt diese Fälle also nochmal extra betrachten. 2. Fehler: Aus xx=yy folgt nicht zwingend x=y. Diese Gleichung ist auch für x=-y erfüllt, diesen Fall mußt du also ebenfalls noch betrachten.
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27.06.2008, 17:05	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, vielen dank!!
25.07.2010, 19:17	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwar schon älter, hat aber genau mein Problem getroffen. Es sei an dieser Stelle noch einmal gesagt, dass in diesem Fall nicht durch 0 geteilt wurde und keine Lösungen verloren gingen. Das Gleichungssystem leifert ja $\begin{eqnarray} x^2=y^2, \end{eqnarray}$ x=y liefert die zwei +-1 Kombinationen, x=-y liefert $\begin{eqnarray} y^2 - 3 = 0 \leftrightarrow y = \mp \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Dann muss man natürlich noch mit Hessematrix oder so die Art des kritischen Punktes bestimmen :-)

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