Länge einer Funktion ???

Länge einer Funktion ???

Halli Hallo liebe Leute,

ich hab mir eben auf dem Weg zur FH mal ein paar Gedanken gemacht und bin zu der Einsicht gekommen, dass ich noch nie was von einer Vereinfachung zur Berechnung der Länge einer Funktion gehört hab.

Meine Gedanken waren, dass da bei einer linearen Funktion ja noch recht einfach geht dank Pythagoras $\begin{eqnarray*} l=\sqrt{(f(x_2)-f(x_1))^2 + (x_2-x_1)^2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt eine beliebige Funktion in immer kleinere Abschnitte unterteilt, in denen man die Steigung als konstant ansehen kann, dann könnte man ja auch somit die Länge einer Funktion in einem bestimmten Intervall errechnen. Bei mir kommt da dann sowas raus $\begin{eqnarray*} l=\sum_{n=a}^b~ \lim_{k \to 0} \sqrt{(f(x_n)-f(x_{n-k}))^2 + (x_n-x_{n-k})^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta n= \frac {1} {\infty} \end{eqnarray*}$ .
a und b sind die Intervallgrenzen.

Ich bin mir eigentlich fast sicher, dass da irgendwo noch ein Denk- oder Formulierungsfehler drin ist.
Was sagen denn die Leute, die Ahnung haben dazu?
und wie kann man das vereinfachen?

RE: Länge einer Funktion ???
Hallo Fassi,

deine Überlegungen sind von der Idee her so falsch nicht.

Aber:

1. Ist der Begriff "Länge einer Funktion" relativ unsinnig. Du bist hier am Graphen der Funktion interessiert. Diesen kannst du aber unabhängig von der Funktion betrachten. Um die Länge zu bestimmen, braucht er ja kein Graph einer Funktion zu sein (kannst ja z.B. auch die Länge eines Kreises bestimmen; der ist nicht Graph einer Funktion, das macht aber für die Bestimmung der Länge keinen Unterschied).

2. Deine "Verallgemeinerung" macht so keinen Sinn. Was soll die Limesbildung im Index?

Schau dir mal das hier an.

Gruß vom Ben

Ich glaube worauf Fassi hinaus will ist ähnlich der Definition der Bogenlänge:

" Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge."

$\begin{eqnarray*} L(\gamma)=\sup\left\{\left.\sum_{i=0}^{k-1}d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1}))\right| k\in\mathbb N,0=t_0<t_1<\ldots<t_{k-1}<t_k=1\right\} \end{eqnarray*}$

Dieser Link dürfte auch intressant sein.

@Ben Sisko:
zu1: Ich weiß gar nicht wofür ich so etwas brauchen könnte. Ich habe mir halt irgendwann nur gedacht, welche Länge hätte z.B. eine kubische Funktion im Bereich von ?????. Das ist so dieses typische, wenn ich keine Probleme habe, dann mach ich mir welche.

zu2:
Ich hab den limes angesetzt, um sicher zu gehen, dass die Abstände zwischen den jeweils 2 zu betrachtenden Punkten nicht zu groß wird. Ich denke da jetzt an die Normalparabel, wenn man z.B. die Punkte von x=0 und x=15 vergleicht, dann gibt es ja doch schon eine Abweichung zwischen der Diagonalen und der eigentlichen Kurve.

@phi:
Ich weiß selbst nicht worauf ich hinaus will

@all:
Was ist eigentlich die Summe aller Funktionswerte?
Hat das irgendeinen Bezug zum Integral?

Meines Wissens kann man durch Integration im Intervall [a;b] auch die Länge des Graphen eienr Funktion f(x) bestimmen, oder liege ich da falsch? Das habe ich zumindest mal gehört...

Zitat:

Original von Fassi
@Ben Sisko:
zu1: Ich weiß gar nicht wofür ich so etwas brauchen könnte. Ich habe mir halt irgendwann nur gedacht, welche Länge hätte z.B. eine kubische Funktion im Bereich von ?????. Das ist so dieses typische, wenn ich keine Probleme habe, dann mach ich mir welche.

Wollte dir auch nur verdeutlichen, dass du ja bei einer sinnvollen Fragestellung angekommen warst, die aber nicht mehr so viel mit deinem Ausgangspunkt, nämlich den Funktionen, zu tun hat (haben muss).

Zitat:

Original von Fassi
zu2:
Ich hab den limes angesetzt, um sicher zu gehen, dass die Abstände zwischen den jeweils 2 zu betrachtenden Punkten nicht zu groß wird. Ich denke da jetzt an die Normalparabel, wenn man z.B. die Punkte von x=0 und x=15 vergleicht, dann gibt es ja doch schon eine Abweichung zwischen der Diagonalen und der eigentlichen Kurve.

Das erreichst du aber nicht durch Grenzwertbildung im Index. Schau dir mal die Links an!

Zitat:

Original von Fassi
@all:
Was ist eigentlich die Summe aller Funktionswerte?

Du stellst Fragen... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Fassi
Hat das irgendeinen Bezug zum Integral?

auch @tesat: Nein, das Integral gibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse an (im einfachsten Fall wo die Funktion nichtnegativ ist).

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Fassi
@Ben Sisko:
zu1: Ich weiß gar nicht wofür ich so etwas brauchen könnte. Ich habe mir halt irgendwann nur gedacht, welche Länge hätte z.B. eine kubische Funktion im Bereich von ?????. Das ist so dieses typische, wenn ich keine Probleme habe, dann mach ich mir welche.

Wollte dir auch nur verdeutlichen, dass du ja bei einer sinnvollen Fragestellung angekommen warst, die aber nicht mehr so viel mit deinem Ausgangspunkt, nämlich den Funktionen, zu tun hat (haben muss).

Aso. Jetzt weiß ich auch was du meinst.

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Fassi
zu2:
Ich hab den limes angesetzt, um sicher zu gehen, dass die Abstände zwischen den jeweils 2 zu betrachtenden Punkten nicht zu groß wird. Ich denke da jetzt an die Normalparabel, wenn man z.B. die Punkte von x=0 und x=15 vergleicht, dann gibt es ja doch schon eine Abweichung zwischen der Diagonalen und der eigentlichen Kurve.

Das erreichst du aber nicht durch Grenzwertbildung im Index. Schau dir mal die Links an!

Wird das durch den Teil $\begin{eqnarray*} 0<t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{k-1}<t_{k}=1 \end{eqnarray*}$ beschrieben?

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Fassi
@all:
Was ist eigentlich die Summe aller Funktionswerte?

Du stellst Fragen... Augenzwinkern

Die Frage hat sich gerade von selbst gelöst. Denken hilft doch.

Zitat:

Original von Fassi

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Fassi
zu2:
Ich hab den limes angesetzt, um sicher zu gehen, dass die Abstände zwischen den jeweils 2 zu betrachtenden Punkten nicht zu groß wird. Ich denke da jetzt an die Normalparabel, wenn man z.B. die Punkte von x=0 und x=15 vergleicht, dann gibt es ja doch schon eine Abweichung zwischen der Diagonalen und der eigentlichen Kurve.

Das erreichst du aber nicht durch Grenzwertbildung im Index. Schau dir mal die Links an!

Wird das durch den Teil $\begin{eqnarray*} 0<t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{k-1}<t_{k}=1 \end{eqnarray*}$ beschrieben?

Genau, dadurch kannst du die Parametrisierung verfeinern.

Länge einer Funktion ???

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